Mestre Panda

Dificuldade: díficil

Na figura seguinte, estão representados os triângulos $[A B C]$ e $[H I E]$ e o retângulo $[A B D F]$.

Fixada uma unidade de medida, sabe-se que:

o ponto $C$ pertence ao lado $[B D]$, o ponto $E$ pertence ao lado $[D F]$, o ponto $G$ pertence ao lado $[A F]$ e os pontos $H$ e $I$ pertencem ao segmento de reta $[C G]$;
a reta $A B$ é paralela à reta $C G$;
a reta $B D$ é paralela à reta $I E$;
a reta $A C$ é paralela à reta $H E$;
$\overline{A B}=12$ e $\overline{B C}=16$;
a área do triângulo $[H I E]$ é 24 .

A figura não está desenhada à escala.

Calcula $\overline{B D}$.

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Fonte: Exame Matemática 3º Ciclo - 2023, 1ª Fase - Grupo Exercício 1021

Resumos

Resolução do Exercício:

Temos que:

as retas $A B$ e $C G$ são paralelas, tal como as retas $B D$ e $I E$, $\operatorname{logo} A \hat{B} C=G \hat{I} E$;
as retas $A B$ e $C G$ são paralelas, tal como as retas $A C$ e $H E, \log$ o $B \hat{C} A=I \hat{E} H$;

Logo, pelo critério AA, os triângulos $[A B C]$ e $[H I E]$ são semelhantes.

A área do triângulo $[A B C]$ é:

$$A_{[A B C]}=\frac{\overline{B C} \times \overline{A B}}{2}=\frac{16 \times 12}{2}=96$$

Como a razão das áreas de figuras semelhantes é o quadrado da razão de semelhança, temos que:

$$r^{2}=\frac{A_{[A B C]}}{A_{[H I E]}} \Leftrightarrow r^{2}=\frac{96}{24} \Leftrightarrow r^{2}=4 \underset{r>0}{\Rightarrow} r=\sqrt{4} \Leftrightarrow r=2$$

Assim, como $[B C]$ e $[I E]$ são lados correspondentes de triângulos semelhantes de razão 2, temos que:

$$r=\frac{\overline{B C}}{\overline{I E}} \Leftrightarrow 2=\frac{16}{\overline{I E}} \Leftrightarrow \overline{I E}=\frac{16}{2} \Leftrightarrow \overline{I E}=8$$

Logo, como $\overline{I E}=\overline{C D}$, temos que:

$$\overline{B D}=\overline{B C}+\overline{C D}=16+8=24$$

Fonte: Matemática? Absolutamente!

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Comentários

Hugo Coutinho

Criado em 11/06/2025 14:42

muito fácil :D

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