Mestre Panda

Dificuldade: díficil

A figura à esquerda é uma fotografia de uma casa típica da ilha da Madeira.

A figura da direita representa um modelo geométrico dessa casa. O modelo não está desenhado à escala.

O modelo representado na figura da direita é um sólido que pode ser decomposto num prisma quadrangular regular $[A B C D E F G H]$ e num cone de vértice $J$

Sabe-se ainda que:

o quadrado $[E F G H]$, base superior do prisma, está inscrito na base do cone;
o diâmetro da base do cone é igual à diagonal das bases do prisma;
$\overline{A B}=4 \mathrm{~m}$
$\overline{I J}=3 \mathrm{~m}$
o volume total do sólido é $57 \mathrm{~m}^{3}$

Determina a altura do prisma.

Apresenta o resultado em metros, arredondado às unidades. Apresenta os cálculos que efetuares.

Nota - Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais.

Fonte: Exame Matemática 3º Ciclo - 2011, 1ª Fase - Grupo Exercício 896

Resumos

Resolução do Exercício:

omo $[E F G H]$ é um quadrado, e $\overline{F G}=\overline{A B}=4 \mathrm{~m}$, então, temos que $\overline{G H}=\overline{F G}=4 \mathrm{~m}$ e assim, recorrendo ao Teorema de Pitágoras, podemos calcular o diâmetro $d$ da base do cone:

$$d^{2}=\overline{F G}^{2}+\overline{G H}^{2} \Leftrightarrow d^{2}=4^{2}+4^{2} \Leftrightarrow d^{2}=16+16 \Leftrightarrow d^{2}=32 \underset{d>0}{\Rightarrow} d=\sqrt{32} \mathrm{~m}$$

E assim temos que o raio, $r$, da base do cone é $r=\frac{\sqrt{32}}{2} \approx 2,83 \mathrm{~m}$

Calculando a medida da área da base do cone temos

$$A_{\circ}=\pi \times r^{2} \approx \pi \times 2,83^{2} \approx 25,16 \mathrm{~m}^{2}$$

Como a medida da altura do cone é $\overline{I J}=3 \mathrm{~m}$, calculando o volume do cone temos

$$V_{C}=\frac{1}{3} \times A_{\circ} \times \overline{I J}=\frac{1}{3} \times 25,16 \times 3=25,16 \mathrm{~m}^{3}$$

Como $[A B C D]$ é um quadrado, então $\overline{B C}=\overline{A B}=4$, temos que o volume do prisma é dado por

$$V_{P}=\overline{A B} \times \overline{B C} \times \overline{B G}=4 \times 4 \times \overline{B G}=16 \times \overline{B G} \mathrm{~m}^{3}$$

Como o volume total do sólido é $57 \mathrm{~m}^{3}$, vem que

$$V_{C}+V_{P}=57 \Leftrightarrow 25,16+16 \times \overline{B G}=57 \Leftrightarrow 16 \times \overline{B G}=57-25,16 \Leftrightarrow$$$$\Leftrightarrow \overline{B G}=\frac{31,84}{16} \Leftrightarrow \overline{B G}=1,99 \mathrm{~m}$$

Assim a altura do prisma $(\overline{B G})$ em metros, arredondada às unidades é $2 \mathrm{~m}$

Fonte: Matemática? Absolutamente!

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