Mestre Panda

Dificuldade: díficil

Na figura seguinte, sabe-se que:

o diâmetro $[B D]$ é perpendicular ao diâmetro $[A C]$;
$[O H D E]$ e $[O F B G]$ são quadrados geometricamente iguais;
o ponto $O$ é o centro do círculo;
$\overline{O C}=2 \mathrm{~cm}$.

Determina o valor exato, em centímetros, da medida do lado do quadrado $[O F B G]$.

Apresenta os cálculos que efetuares.

Fonte: Exame Matemática 3º Ciclo - 2009, 1ª Fase - Grupo Exercício 801

Resumos

Resolução do Exercício:

Como $[O F B G]$ é um quadrado, o ângulo $O F B$ é reto e o triângulo $[O F B]$ é retângulo em $G$, pelo que podemos recorrer ao Teorema de Pitágoras:

$$\overline{O B}^{2}=\overline{O F}^{2}+\overline{F B}^{2}$$

Como $[O F]$ e $[F B]$ são lados de um quadrado temos que $\overline{O F}=\overline{F B}$, e assim

$$\overline{O B}^{2}=\overline{O F}^{2}+\overline{F B}^{2} \Leftrightarrow \overline{O B}^{2}=\overline{O F}^{2}+\overline{O F}^{2} \Leftrightarrow \overline{O B}^{2}=2 \times \overline{O F}^{2}$$

Como $[O C]$ e $[O B]$ são raios de uma circunferência temos que $\overline{O B}=\overline{O C}=2$, pelo que

$$\overline{O B}^{2}=2 \times \overline{O F}^{2} \Leftrightarrow 2^{2}=2 \times \overline{O F}^{2} \Leftrightarrow \frac{4}{2}=\overline{O F}^{2} \Leftrightarrow 2=\overline{O F}^{2} \Rightarrow \sqrt{O F}>0$$

E assim, vem que o valor exacto, em centímetros, da medida do lado do quadrado $[O F B G]$ é $\sqrt{2}$

Fonte: Matemática? Absolutamente!

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