Mestre Panda

Dificuldade: díficil

A Casa das Histórias Paula Rego é um museu de arte localizado em Cascais.

Na figura, em baixo, representa-se, em esquema, uma das partes desse edifício.

No esquema, estão representados o prisma reto de bases quadradas $[A B C D E F G H]$ e o tronco de pirâmide $[E F G H I J K L]$, da pirâmide reta de base quadrada $[E F G H V]$. As faces $[E F G H]$ e $[I J K L]$, do tronco de pirâmide, são paralelas.

Relativamente ao esquema, admite que:

$\overline{B C}=9 \mathrm{~cm}, \overline{C H}=6 \mathrm{~cm}$ e $\overline{K L}=3 \mathrm{~cm}$;
a altura da pirâmide $[E F G H V]$ é $24 \mathrm{~cm}$;
a distância entre os planos $[E F G]$ e $[J K L]$ é $16 \mathrm{~cm}$.

Determina o volume do tronco de pirâmide $[E F G H I J K L]$.

Apresenta o resultado em $\mathrm{cm}^{3}$.

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Fonte: Exame Matemática 3º Ciclo - 2018, 1ª Fase - Grupo Exercício 872

Resumos

Resolução do Exercício:

Assim, calculando o volume das duas pirâmides, temos que:

a altura da pirâmide $[E F G H V]$ é 24 e como a base é um quadrado de lado $\overline{G H}$, e $\overline{G H}=\overline{B C}$, vem que: $A_{[E F G H]}=\overline{G H}^{2}=\overline{B C}^{2}=9^{2}=81 \mathrm{~cm}^{2}$

E desta forma:

$$V_{[E F G H V]}=\frac{1}{3} \times A_{[E F G H]} \times \text { altura }=\frac{1}{3} \times 9^{2} \times 24=\frac{81 \times 24}{3}=648 \mathrm{~cm}^{3}$$

a altura da pirâmide $[I J K L V]$ é a diferença entre a altura da pirâmide $[E F G H V]$ e a distância entre os planos que contêm as bases, ou seja:

$$\text { altura da pirâmide }[I J K L V]=24-16=8 \mathrm{~cm}$$

e como a base é um quadrado de lado $\overline{K L}$, vem que: $A_{[I J K L]}=\overline{K L}^{2}=3^{2}=9 \mathrm{~cm}^{2}$

E desta forma:

$$V_{[I J K L V]}=\frac{1}{3} \times A_{[I J K L]} \times \text { altura }=\frac{1}{3} \times 3^{2} \times 8=\frac{9 \times 8}{3}=24 \mathrm{~cm}^{3}$$

E assim temos que o volume do tronco de pirâmide é:

$$V_{[E F G H I J K L]}=V_{[E F G H V]}-V_{[I J K L V]}=648-24=624 \mathrm{~cm}^{3}$$

Fonte: Matemática? Absolutamente!

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