Mestre Panda

Dificuldade: díficil

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Na figura seguinte, estão representados uma circunferência de centro no ponto $O$ e os triângulos $[\mathrm{ABC}]$ e $[\mathrm{CDE}]$

Sabe-se que:

os pontos $A, B$ e $C$ pertencem à circunferência
$[B C]$ é um diâmetro da circunferência
o triângulo $[C D E]$ é retângulo em $E$
os triângulos $[ABC]$ e $[CDE]$ são semelhantes

A figura não está desenhada à escala.

Questão:

Admite que:

$\overline{A B}=6 \mathrm{~cm}$
$\overline{A C}=10 \mathrm{~cm}$

Determina a área do círculo de diâmetro $[\mathrm{BC}]$

Apresenta o resultado $\mathrm{em}^{2}$, arredondado às unidades. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Nota - Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais.

Fonte: Exame Matemática 3º Ciclo - 2013, 1ª Fase - Grupo Exercício 891

Resumos

Resolução do Exercício:

Como o triângulo $[A B C]$ é retângulo em $A$ (porque um dos lados coincide com o diâmetro da circunferência e o vértice oposto a esse lado está sobre a circunferência), usando o Teorema de Pitágoras e substituindo as medidas conhecidas, temos que:

$$\overline{B C}^{2}=\overline{A B}^{2}+\overline{A C}^{2} \Leftrightarrow \overline{B C}^{2}=6^{2}+10^{2} \Leftrightarrow \overline{B C}^{2}=36+100 \Leftrightarrow \overline{B C}^{2}=136 \underset{\overline{B C}>0}{\Rightarrow} \overline{B C}=\sqrt{136}$$

Logo, como $[B C]$ é um diâmetro do círculo, a medida do raio, $r$, é:

$$r=\frac{\sqrt{136}}{2} \approx 5,83$$

$\mathrm{E}$ assim, calculando a área do círculo de diâmetro $[B C]$, $\mathrm{em} \mathrm{cm}^{2}$, e arredondando o resultado às unidades, vem

$$A=\pi r^{2} \approx \pi \times 5,83^{2} \approx 107 \mathrm{~cm}^{2}$$

Fonte: Matemática? Absolutamente!

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