Mestre Panda

Dificuldade: díficil

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Na figura seguinte, está representada uma circunferência de centro no ponto $O$

Sabe-se que:

os pontos $A, B$ e $C$ pertencem à circunferência
as retas $A D$ e $C D$ são tangentes à circunferência nos pontos $A$ e $C$, respetivamente
o ponto $E$ pertence à reta $C D$

Admite que $A \hat{O} C=140^{\circ}$

Questão:

Determina a amplitude, em graus, do ângulo $A D E$.Mostra como chegaste à tua resposta.

Fonte: Exame Matemática 3º Ciclo - 2012, 1ª Fase - Grupo Exercício 438

Resumos

Resolução do Exercício:

Como as retas $A D$ e $C D$ são tangentes à circunferência nos pontos $A$ e $C$, respetivamente temos que os ângulos $O A D$ e $O C D$ são retos.

Como a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é $360^{\circ}$, considerando o quadrilátero $[O A D C]$ temos que

$$\begin{gathered}A \hat{D} C+O \hat{C} D+A \hat{O} C+O \hat{A} D=360 \Leftrightarrow A \hat{D} C+90+140+90=360 \Leftrightarrow \\Leftrightarrow A \hat{D} C+320=360 \Leftrightarrow A \hat{D} C=360-320 \Leftrightarrow A \hat{D} C=40^{\circ}\end{gathered}$$

Como os ângulos $A D E$ e $A D C$ são suplementares, vem que

$$A \hat{D} E+A \hat{D} C=180 \Leftrightarrow A \hat{D} E+40=180 \Leftrightarrow A \hat{D} E=180-40 \Leftrightarrow A \hat{D} E=140^{\circ}$$

Fonte: Matemática? Absolutamente!

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