Mestre Panda

Dificuldade: díficil

Observa o seguinte triângulo formado por números.

\begin{array}{llllllllll}
\text { Linha } 1 & & & & & 1 & & & & \
\text { Linha } 2 & & & & 1 & 2 & 1 & & & \
\text { Linha } 3 & & & 1 & 2 & 3 & 2 & 1 & & \
\text { Linha 4 } & & 1 & 2 & 3 & 4 & 3 & 2 & 1 & \
\text { Linha } 5 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1
\end{array}

Na $3^{\mathrm{a}}$ linha deste triângulo numérico há 5 números e na $4^{\mathrm{a}}$ linha há 7 números.

Quantos números há na $112^{\mathrm{a}}$ linha?

Explica como chegaste à tua resposta.

Fonte: Exame Matemática 3º Ciclo - 2002, 1ª Fase - Grupo 8 Exercício 995

Resumos

Resolução do Exercício:

Observando o triângulo podemos verificar que o número de elementos de cada linha pode ser decomposto em duas parcelas, uma com o número da linha e outra com menos um elemento:

$$\begin{array}{llllllllll}\text{Linha } 1: 1+(1-1)=1+0=1& & & & & 1 |& & & & \\text{Linha }2: 2+(2-1)=2+1=3& & & & 1 & 2| & 1 & & & \\text{Linha }3: 3+(3-1)=3+2=5& & & 1 & 2 & 3| & 2 & 1 & & \\text{Linha }4: 4+(4-1)=4+3=7 & & 1 & 2 & 3 & 4| & 3 & 2 & 1 & \\text{Linha }5: 5+(5-1)=5+4=9~~~~~~~~~~~~~~5 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5| & 4 & 3 & 2 & 1\end{array}$$

Assim, o número de elementos da $112^{\mathrm{a}}$ linha pode ser calculado como a soma de duas parcelas:

$$112+(112-1)=112+111=223$$

Fonte: Matemática? Absolutamente!

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