Mestre Panda

Dificuldade: díficil

Na figura seguinte, estão representados o prisma reto $[A B C D E F G H]$ de bases quadradas $[A B C D]$ e $[F G H E]$ e as pirâmides triangulares $[A F G E]$ e $[A S T R]$, cujas bases $[F G E]$ e $[S T R]$ estão contidas em planos paralelos.

Os vértices $S, T$ e $R$ da pirâmide $[A S T R]$ pertencem, respetivamente, às arestas $[A F],[A G]$ e $[A E]$ da pirâmide $[A F G E]$

Considera que:

$\overline{A S}=6 \mathrm{~cm}$
$\overline{S T}=4 \mathrm{~cm}$
$\overline{A F}=9 \mathrm{~cm}$

A figura não está desenhada à escala.

Determina $\overline{A T}$

Apresenta o valor pedido em centímetros, arredondado às décimas. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Fonte: Exame Matemática 3º Ciclo - 2017, 1ª Fase - Grupo Exercício 779

Resumos

Resolução do Exercício:

Como o plano $S T R$ é paralelo ao plano $E F G$, e o plano $E F G$ é perpendicular ao plano $A F G$, então também o plano $S T R$ é perpendicular ao plano $A F G$, ou seja, o ângulo $A S T$ é reto, pelo que o triângulo $[A S T]$ é um triângulo retângulo em $S$, pelo que podemos, recorrendo ao Teorema de Pitágoras, afirmar que:

$$\overline{A T}^{2}=\overline{A S}^{2}+\overline{S T}^{2}$$

Logo, substituindo os valores dados, vem que:

$$\overline{A T}^{2}=6^{2}+4^{2} \Leftrightarrow \overline{A T}^{2}=36+16 \Leftrightarrow \overline{A T}^{2}=52 \underset{A T>0}{\Rightarrow} \overline{A T}=\sqrt{52}$$

E assim, arredondando o valor pedido às décimas, temos que $\overline{A T} \approx 7,2 \mathrm{~cm}$

Fonte: Matemática? Absolutamente!

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