Mestre Panda

Dificuldade: díficil

Na figura seguinte, estão representados os três primeiros termos de uma sequência de figuras constituídas por octógonos regulares, geometricamente iguais, e por quadrados.

O primeiro termo da sequência é composto por um octógono e por quatro quadrados. Cada um dos restantes termos obtém-se acrescentando ao termo anterior um octógono e dois quadrados.

Existe um termo desta sequência que tem exatamente 32 quadrados. Quantos octógonos tem esse termo?

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Fonte: Exame Matemática 3º Ciclo - 2022, 1ª Fase - Grupo Exercício 947

Resumos

Resolução do Exercício:

Observando que cada termo pode ser obtido, relativamente ao anterior, acrescentando 1 octógono e 2 quadrados, o número de quadrados acrescentados a cada termo é o dobro do número de octógonos acrescentados.

Como o primeiro termo tem 1 octógono e 4 quadrados (ou seja $2+2$ ), cada termo terá um número de octógonos igual à ordem do termo e um número de quadrados que é o dobro do número de óctogonos acrescido de duas unidades.

Ou seja, o termo de ordem $n$ tem $n$ octógonos e $2 n+2$ quadrados.

Assim, no termo que tem 32 quadrados, o número de quadrados é $30+2$, em que 30 é o dobro do número de octógonos; ou seja, o número de octógonos deste termo é $\frac{30}{2}=15$

Fonte: Matemática? Absolutamente!