Mestre Panda

Dificuldade: díficil

Na figura estão representados os triângulos $[A B C]$ e $[A D E]$, retângulos em $B$ e $D$, respetivamente.

Sabe-se que:

as retas $B D$ e $C E$ se intersectam no ponto $A$;
os lados $[B C]$ e $[D E]$ são paralelos;
$\overline{B C}=4, \overline{D E}=2$ e $\overline{B D}=a(a>0)$.

Determina, em função de $a$, a altura do triângulo $[A B C]$ relativa ao lado $[B C]$.

Mostra como chegaste à tua resposta.

Fonte: Exame Matemática 3º Ciclo - 2019, 1ª Fase - Grupo Exercício 1030

Resumos

Resolução do Exercício:

Como os ângulos $E A D$ e $B A C$ são ângulos verticalmente opostos, e ambos os triângulos têm um ângulo reto, pelo critério AA, concluímos que os triângulos são semelhantes.

Assim, temos que:

$$\frac{\overline{A B}}{\overline{A D}}=\frac{\overline{B C}}{\overline{D E}} \Leftrightarrow \frac{\overline{A B}}{\overline{A D}}=\frac{4}{2} \Leftrightarrow \frac{\overline{A B}}{\overline{A D}}=2 \Leftrightarrow \frac{\overline{A B}}{2}=\overline{A D}$$

Como $\overline{A B}+\overline{A D}=a$, calculando a altura do triângulo $[A B C]$ relativa ao lado $[B C]$, ou seja, $\overline{A B}$, temos:

$$$\overline{A B}+\frac{\overline{A B}}{2}=a \Leftrightarrow \frac{2 \overline{A B}}{2}+\frac{\overline{A B}}{2}=a \Leftrightarrow \frac{3 \overline{A B}}{2}=a \Leftrightarrow \overline{A B}=\frac{2 a}{3}$$

Fonte: Matemática? Absolutamente!

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