Mestre Panda

Dificuldade: díficil

Os contentores de recolha seletiva de lixo de uma praia vão ser substituídos. O contentor atual tem a forma de um sólido que pode ser decomposto num cilindro e numa semiesfera com o mesmo raio, como se representa na figura seguinte.

O futuro contentor terá a forma de um prisma reto de bases quadradas, como também se representa na mesma figura.

Relativamente ao contentor atual, sabe-se que:

a altura do cilindro é $7,6 \mathrm{~dm}$;
o raio da base do cilindro é $2,4 \mathrm{~dm}$.

O futuro contentor terá o mesmo volume e a mesma altura do contentor atual.

Determina a medida da aresta da base do futuro contentor.

Apresenta o resultado em decímetros, arredondado às décimas. Se procederes a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserva, pelo menos, duas casas decimais.

Mostra como chegaste à tua resposta.

Fonte: Exame Matemática 3º Ciclo - 2019, 1ª Fase - Grupo Exercício 870

Resumos

Resolução do Exercício:

Como os dois contentores devem ter o mesmo volume, começamos por determinar o volume do contentor atual, como a soma dos volumes da semiesfera e do cilindro:

$V_{\text {Semiesfera }}=\frac{V_{\text {Esfera }}}{2}=\frac{\frac{4}{3} \pi \times 2,4^{3}}{2} \approx 28,95 \mathrm{dm}^{3}$
$V_{\text {Cilindro }}=A_{\text {Base }} \times$ Altura $=\pi \times 2,4^{2} \times 7,6 \approx 137,53 \mathrm{dm}^{3}$
$V_{\text {Contentor atual }}=V_{\text {Semiesfera }}+V_{\text {Cilindro }} \approx 28,95+137,53 \approx 166,48 \mathrm{dm}^{3}$

Como o futuro contentor deve ter a mesma altura do contentor atual $(h)$, calculamos a área do contentor atual, como a soma do raio da semi-esfera com a altura do cilindro:

$$h=7,6+2,4=10 \mathrm{dm}$$

Assim, como o volume do prisma reto de bases quadradas $\left(V_{P}\right)$ é dado, em função da aresta da base $(a)$, por:

$$V_{P}=A_{\text {Base }} \times h \Leftrightarrow V_{P}=a^{2} \times h$$

Desta forma, como os volumes dos dois contentores devem ser iguais, substituindo os valores conhecidos na fórmula, determinamos o valor de $a$, em decímetros, arredondado às décimas:

$$166,48=a^{2} \times 10 \Leftrightarrow \frac{166,48}{10}=a^{2} \Leftrightarrow 16,648=a^{2} \underset{a>0}{\Rightarrow} a=\sqrt{16,648} \Rightarrow a \approx 4,1 \mathrm{dm}$$

Fonte: Matemática? Absolutamente!

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