Mestre Panda

Dificuldade: díficil

O centro geodésico de Portugal continental situa-se na Serra da Melriça, próximo de Vila de Rei. Nesse local, foi construído o marco geodésico que se pode observar na figura seguinte, à esquerda. Na figura da direita, está representado um modelo geométrico desse marco geodésico.

O modelo não está desenhado à escala.

O modelo do marco geodésico é um poliedro composto pelo tronco de pirâmide quadrangular regular $[A B C D E F G H]$ e pela pirâmide quadrangular regular $[E F G H I]$

O ponto $J$ é o centro do quadrado $[A B C D]$

Relativamente à figura da direita, sabe-se que:

$\overline{I J}=15 \mathrm{~cm}$
$\overline{A B}=8 \mathrm{~cm}$
$\overline{F G}=3 \mathrm{~cm}$
o volume da pirâmide $[E F G H I]$ é $6 \mathrm{~cm}^{3}$

Sabe-se ainda que o volume, $V$, de um tronco de pirâmide quadrangular regular é dado pela expressão $V=\frac{h}{3}\left(L^{2}+L \times l+l^{2}\right)$ em que:

$h$ é a altura do tronco de pirâmide;
$L$ é a aresta da base maior do tronco de pirâmide;
$l$ é a aresta da base menor do tronco de pirâmide.

Determina o volume do tronco de pirâmide $[A B C D E F G H]$

Sugestão: Começa por mostrar que a altura da pirâmide $[E F G H I]$ é igual a $2 \mathrm{~cm}$

Apresenta o resultado $\mathrm{em}^{3}$, arredondado às unidades. Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais.

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Fonte: Exame Matemática 3º Ciclo - 2015, 1ª Fase - Grupo Exercício 880

Resumos

Resolução do Exercício:

Considerando a expressão para o volume, $V$, de um tronco de pirâmide quadrangular regular, $V=\frac{h}{3}\left(L^{2}+L \times l+l^{2}\right)$, temos para o tronco de pirâmide $[A B C D E F G H]$, que

$$L=\overline{A B}=8 \mathrm{~cm} \mathrm{~e}~ l=\overline{F G}=3 \mathrm{~cm}$$

Para determinar a medida $h$, consideramos o ponto $K$, o centro do quadrado $[E F G H]$, e temos que $\overline{I J}=\overline{I K}+\overline{K J}$, pelo que

$$h=\overline{I J}-\overline{I K}$$

Como $\overline{I K}$ é a altura da pirâmide $[E F G H I]$, que tem volume $6 \mathrm{~cm}^{3}$, podemos calcular $\overline{I K}$ recorrendo à expressão do volume da pirâmide:

$$V_{[E F G H I]}=\frac{1}{3} \times A_{b} \times a=\frac{1}{3} \times \overline{F G}^{2} \times \overline{I K}$$

Substituindo os valores conhecidos, vem

$$6=\frac{1}{3} \times 3^{2} \times \overline{I K} \Leftrightarrow 6=\frac{9}{3} \times \overline{I K} \Leftrightarrow 6=3 \times \overline{I K} \Leftrightarrow \frac{6}{3}=\overline{I K} \Leftrightarrow 2=\overline{I K}$$

Logo, vem que $h=\overline{I J}-\overline{I K}=15-2=13$

E assim, recorrendo à expressão do volume do tronco de pirâmide quadrangular para calcular o volume em $\mathrm{cm}^{3}$, do tronco de pirâmide $[A B C D E F G H]$, e arredondando o resultado às unidades, temos:

$$V_{[A B C D E F G H]}=\frac{13}{3}(64+24+9)=\frac{13}{3} \times 97=\frac{1261}{3} \approx 420 \mathrm{~cm}^{3}$$

Fonte: Matemática? Absolutamente!

Exercício Anterior

Próximo Exercício

Comentários

Neste momento, não há comentários para este exercício.

Para comentar, por favor inicia sessão ou cria uma conta.

Selecionar Exercício

Resolução do Exercício:

Comentários