Mestre Panda

Dificuldade: média

Relativamente à figura seguinte, sabe-se que:

o triângulo $[O C D]$ é rectângulo em $O$
o ponto $A$ pertence ao segmento $[O C]$
o ponto $B$ pertence ao segmento $[O D]$
os segmentos $[A B]$ e $[C D]$ são paralelos;
$\overline{O A}=5$
$\overline{O B}=12$
$\overline{O D}=18$

A figura não está desenhada à escala.

Determina $\overline{C D}$

Apresenta os cálculos que efetuares.

Fonte: Exame Matemática 3º Ciclo - 2011, 1ª Fase - Grupo Exercício 792

Resumos

Resolução do Exercício:

Como os triângulos $[O A B]$ e $[O C D]$ têm um ângulo em comum, e os segmentos $[A B]$ e $[C D]$ são paralelos, definem sobre a mesma reta $(O C)$ ângulos iguais, e assim os triângulos, têm dois pares de ângulos com a mesma amplitude, o que é suficiente para afirmar que são semelhantes, pelo critério AA.

Como os triângulos são semelhantes, podemos afirmar que a razão entre lados correspondentes é igual, ou seja,

$$\frac{\overline{O C}}{\overline{O A}}=\frac{\overline{O D}}{\overline{O B}}$$

Logo, substituindo os valores dados, vem que:

$$\frac{\overline{O C}}{5}=\frac{18}{12} \Leftrightarrow \overline{O C}=\frac{15 \times 5}{12} \Leftrightarrow \overline{O C}=7,5$$

E podemos calcular $\overline{C D}$, recorrendo ao Teorema de Pitágoras:

$$\overline{C D}^{2}=\overline{O C}^{2}+\overline{O D}^{2} \Leftrightarrow \overline{C D}^{2}=7,5^{2}+18^{2} \Leftrightarrow$$$$ \Leftrightarrow\overline{C D}^{2}=56,25+324 \underset{\overline{C D}>0}{\Rightarrow} \overline{C D}^{2}=\sqrt{380,25}=\overline{B C} \Leftrightarrow \overline{C D}=19,5$$

Fonte: Matemática? Absolutamente!

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