Mestre Panda

Dificuldade: díficil

No telhado de uma casa, existe um painel solar incorporado numa peça metálica. O painel e a peça, em conjunto, têm a forma de um prisma triangular reto cujas bases são triângulos retângulos.

Na figura seguinte, está representado o prisma triangular reto $[A B C D E F]$, modelo da peça metálica. Os segmentos de reta $[E F]$ e $[A B]$ são perpendiculares aos segmentos de reta $[D F]$ e $[B C]$, respetivamente.

A figura não está desenhada à escala.

Na figura, o painel solar está representado pelo retângulo $[A C D E]$. As medidas da peça metálica são as indicadas na figura: $\overline{A B}=78 \mathrm{~cm}, \overline{B C}=58,5 \mathrm{~cm}, \overline{D E}=97,5 \mathrm{~cm}$ e $\overline{A E}=x \mathrm{~cm}(x>0)$.

Admite que o volume do prisma $[A B C D E F]$ é $445000 \mathrm{~cm}^{3}$.

Determina a área do painel solar.

Apresenta o resultado $\mathrm{em}^{2}$, arredondado às unidades. Se procederes a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserva, pelo menos, duas casas decimais.

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Fonte: Exame Matemática 3º Ciclo - 2019, 1ª Fase - Grupo Exercício 868

Resumos

Resolução do Exercício:

Como o volume de um prisma pode ser calculado como o produto da área da base pela altura, começamos por determinar a área da base do prisma $[A B C D E F]$, ou seja, por exemplo, a área do triângulo $[A B C]$ :

$$A_{\text {Base }}=A_{[A B C]}=\frac{\overline{A B} \times \overline{B C}}{2}=\frac{78 \times 58,5}{2}=2281,5 \mathrm{~cm}^{2}$$

Assim, podemos determinar a altura do prisma, $x$, recorrendo à fórmula do volume:

$$\begin{gathered}V_{[A B C D E F]}=A_{\text {Base }} \times \text { altura } \Leftrightarrow V_{[A B C D E F]}=A_{[A B C]} \times x \Leftrightarrow 445000=2281,5 \times x \Leftrightarrow \\Leftrightarrow x=\frac{445000}{2281,5} \Rightarrow x \approx 195,05 \mathrm{~cm}\end{gathered}$$

Desta forma, a área do painel solar, ou seja, a área do retângulo $[A C D E]$, é:

$$A_{[A C D E]}=\overline{A E} \times \overline{D E}=x \times 97,5 \approx 195,05 \times 97,5 \approx 19017 \mathrm{~cm}^{2}$$

Fonte: Matemática? Absolutamente!

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