Mestre Panda

Dificuldade: díficil

Na figura ao lado, estão representadas, em referencial cartesiano, de origem no ponto $O$, parte do gráfico de uma função quadrática, $f$, e parte do gráfico de uma função de proporcionalidade inversa, $g$.

Sabe-se que:

a função $f$ é definida por $f(x)=a x^{2}$, com $a \neq 0$;
os gráficos das funções $f$ e $g$ intersectam-se no ponto $P$, de abcissa 2 ;
o ponto $A$ pertence ao gráfico da função $g$ e tem coordenadas $(4,3)$.

Determina o valor de $a$.

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Fonte: Exame Matemática 3º Ciclo - 2021, 1ª Fase - Grupo Exercício 252

Resumos

Resolução do Exercício:

Como a função $g$ é uma função de proporcionalidade inversa, então $g(x)=\frac{k}{x}, k \in \mathbb{R} \backslash\{0\}$ Como $g(4)=3$ (porque o ponto $A$ pertence ao gráfico de $g$ ), temos que o valor da constante de proporcionalidade $(k)$, pode ser calculado, substituindo as coordenadas do ponto na expressão algébrica da função $g$ :

$$3=\frac{k}{4} \Leftrightarrow 3 \times 4=k \Leftrightarrow k=12$$

Desta forma, como a função $g$ é definida por $g(x)=\frac{12}{x}$, substituindo a abcissa do ponto $P$ na expressão de $g$, podemos calcular o valor da ordenada:

$$g(2)=\frac{12}{2}=6$$

Assim, temos que as coordenadas do ponto $P$ são $(2,6)$, e como este ponto pertence ao gráfico de $f$, podemos determinar o valor de $a$ substituindo as coordenadas do ponto $P$ na expressão algébrica que define a função $f$ :

$$6=a \times 2^{2} \Leftrightarrow 6=4 a \Leftrightarrow \frac{6}{4}=a \Leftrightarrow a=\frac{3}{2}$$

Fonte: Matemática? Absolutamente!

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