Mestre Panda

Dificuldade: média

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Na figura ao lado, está representada uma circunferência, de centro $O$ em que:

$A, B, C$ e $D$ são pontos da circunferência;
o segmento de reta $[B D]$ é um diâmetro;
$E$ é o ponto de interseção das retas $B D$ e $A C$;
o triângulo $[A D E]$ é retângulo em $E$;
$C \hat{A} D=30^{\circ}$.

Questão:

Sem efetuares medições, explica por que é que a seguinte afirmação é verdadeira.

«Os triângulos $[A D E]$ e $[C D E]$ são geometricamente iguais.»

Fonte: Exame Matemática 3º Ciclo - 2007, 1ª Fase - Grupo Exercício 460

Resumos

Resolução do Exercício:

Como o triângulo $[A D E]$ é retângulo em $E$, o ângulo $A D E$ é reto, e assim o ângulo $C D E$ também é reto (porque $A D E$ e $C D E$ são ângulos suplementares).

Como o segmento de reta $[B D]$ é um diâmetro, é um eixo de simetria da circunferência, e assim a reflexão do ponto $A$, relativamente à reta $B D$ é o ponto $C$ (porque as retas $A C$ e $B D$ são perpendiculares), e assim vem que o ponto $E$ é o ponto médio da corda $[A C]$, pelo que $\overline{A E}=\overline{E C}$

Como o lado $[D E]$ é comum aos dois triângulos, temos que os dois triângulos têm dois pares de lados com o mesmo comprimento e o ângulo por eles formado tem a mesma amplitude, pelo que os triângulos são geometricamente iguais (critério LAL).

Fonte: Matemática? Absolutamente!

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