Mestre Panda

Dificuldade: díficil

Na figura seguinte, está representada uma semicircunferência de diâmetro $[A B]$ e centro no ponto $O$.

Sabe-se que:

os pontos $C$ e $D$ pertencem à semicircunferência;
a amplitude do arco $A D$ é $56^{\circ}$;
os segmentos de reta $[B D]$ e $[O C]$ intersectam-se no ponto $E$;
$B \hat{E} C=72^{\circ}$.

Determina, em graus, $B \hat{O} E$.

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Fonte: Exame Matemática 3º Ciclo - 2018, 1ª Fase - Grupo Exercício 421

Resumos

Resolução do Exercício:

Como o ângulo $A B D$ é o ângulo inscrito relativo ao arco $A D$, a amplitude do ângulo é metade da amplitude do arco, ou seja:

$$A \hat{B} D=\frac{\overparen{A D}}{2}=\frac{56}{2}=28^{\circ}$$

Como os ângulos $O E B$ e $B E C$ são Ângulos suplementares e $B \hat{E} C=72^{\circ}$, temos que:

$$O \hat{E} B+B \hat{E} C=180 \Leftrightarrow O \hat{E} B+72=180 \Leftrightarrow O \hat{E} B=180-72 \Leftrightarrow O \hat{E} B=108^{\circ}$$

Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é $180^{\circ}$, e $A \hat{B} D=O \hat{B} E$ vem que:

$$O \hat{B} E+O \hat{E} B+B \hat{O} E=180 \Leftrightarrow 28+108+B \hat{O} E=180 \Leftrightarrow B \hat{O} E=180-108-28 \Leftrightarrow B \hat{O} E=44^{\circ}$$

Fonte: Matemática? Absolutamente!

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