Mestre Panda

Dificuldade: díficil

Na figura seguinte, estão representados o triângulo $[A B C]$ e o retângulo $[D E F G]$.

Sabe-se que:

o triângulo $[A B C]$ é isósceles, com $\overline{A B}=\overline{A C}$;
o triângulo $[A E D]$ é isósceles, com $\overline{A E}=\overline{A D}$;
os pontos $F$ e $G$ pertencem ao lado $[B C]$, o ponto $E$ pertence ao lado $[A B]$ e o ponto $D$ pertence ao lado $[A C]$;
os pontos $M$ e $P$ são os pontos médios dos segmentos de reta $[B C]$ e $[E D]$, respetivamente;
$\overline{B C}=15$ e $\overline{A M}=12$;
a área do triângulo $[A E D]$ é 10 .

A figura não está desenhada à escala.

Calcula $\overline{E F}$.

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Fonte: Exame Matemática 3º Ciclo - 2023, 1ª Fase - Grupo Exercício 1022

Resumos

Resolução do Exercício:

Temos que a área do triângulo $[A B C]$ é:

$$A_{[A B C]}=\frac{\overline{B C} \times \overline{A M}}{2}=\frac{15 \times 12}{2}=90$$

Como os triângulos $[A B C]$ e $[A E D]$ são semelhantes porque têm um ângulo comum e os lados opostos são paralelos, a razão das áreas de figuras semelhantes é o quadrado da razão de semelhança, ou seja:

$$r^{2}=\frac{A_{[A B C]}}{A_{[A E D]}} \Leftrightarrow r^{2}=\frac{90}{10} \Leftrightarrow r^{2}=9 \underset{r>0}{\Rightarrow} r=\sqrt{9} \Leftrightarrow r=3$$

Assim, como $[A P]$ e $[A M]$ são as alturas dos dois triângulos, temos que:

$$r=\frac{\overline{A M}}{\overline{A P}} \Leftrightarrow 3=\frac{12}{\overline{A P}} \Leftrightarrow \overline{A P}=\frac{12}{3} \Leftrightarrow \overline{A P}=4$$

Assim, como $\overline{E F}=\overline{P M}$, temos que:

$$\overline{A P}+\overline{P M}=\overline{A P} \Leftrightarrow 4+\overline{E F}=12 \Leftrightarrow \overline{E F}=12-4 \Leftrightarrow \overline{E F}=8$$

Fonte: Matemática? Absolutamente!