Mestre Panda

Dificuldade: díficil

Na figura, está representada uma circunferência de centro no ponto $O$ e diâmetro $[A B]$.

O ponto $C$ pertence à circunferência.

Determina a amplitude, em graus, do ângulo $\alpha$.

Apresenta os cálculos que efetuares.

Fonte: Exame Matemática 3º Ciclo - 2008, 1ª Fase - Grupo Exercício 454

Resumos

Resolução do Exercício:

Como os ângulos $A O C$ e $\beta$ são suplementares, e $\beta=60^{\circ}$, então temos que:

$$A \hat{O} C+\beta=180 \Leftrightarrow A \hat{O} C=180-\beta \Leftrightarrow A \hat{O} C=180-60 \Leftrightarrow A \hat{O} C=120^{\circ}$$

Como o triângulo $[A O C]$ é isósceles, porque ambos os lados $[A O]$ e $[O C]$ são raios da circunferência, então $\overline{A O}=\overline{O C}$; e num triângulo a lados com a mesma medida opõem-se ângulos com a mesma amplitude, pelo que $O \hat{A} C=\alpha$

Sabendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo é $180^{\circ}$, então, calculando a amplitude em graus do ângulo $\alpha$, vem que:

$O \hat{A} C+\alpha+A \hat{O} C=180 \Leftrightarrow \alpha+\alpha+120=180 \Leftrightarrow 2 \alpha=180-120 \Leftrightarrow 2 \alpha=60 \Leftrightarrow \alpha=\frac{60}{2} \Leftrightarrow \alpha=30^{\circ}$

Fonte: Matemática? Absolutamente!

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