Mestre Panda

Dificuldade: díficil

Na figura seguinte, está representada uma semicircunferência de diâmetro $[C D]$ e centro no ponto $O$.

Sabe-se que:

o ponto $A$ pertence à semicircunferência;
o ponto $B$ pertence ao segmento de reta $[C D]$;
a amplitude do arco $A C$ é $110^{\circ}$;
$B \hat{A} C=25^{\circ}$.

Determina, em graus, $C \hat{B} A$.

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Fonte: Exame Matemática 3º Ciclo - 2018, 1ª Fase - Grupo Exercício 420

Resumos

Resolução do Exercício:

Temos que:

Como $[C D]$ é um diâmetro da circunferência, então $\widehat{C D}=180^{\circ}$
$\overparen{C A}+\overparen{A D}=\overparen{C D} \Leftrightarrow 110+\overparen{A D}=180 \Leftrightarrow \widehat{A D}=180-110 \Leftrightarrow \overparen{A D}=70^{\circ}$

Como o ângulo $A C D$ é o ângulo inscrito relativo ao arco $A D$, a amplitude do ângulo é metade da amplitude do arco, ou seja:

$$A \hat{C} B=A \hat{C} D=\frac{\overparen{A D}}{2}=\frac{70}{2}=35^{\circ}$$

Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é $180^{\circ}$, e $A \hat{C} B=A \hat{C} D$ vem que:

$$\begin{aligned}A \hat{B} C+A \hat{C} B+B \hat{A} C= & 180 \Leftrightarrow A \hat{B} C+35+25=180 \Leftrightarrow A \hat{B} C=180-35-25 \Leftrightarrow \& \Leftrightarrow A \hat{B} C=180-60 \Leftrightarrow A \hat{B} C=120^{\circ}\end{aligned}$$

Fonte: Matemática? Absolutamente!

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