Mestre Panda

Dificuldade: díficil

A figura seguinte, à esquerda, é uma fotografia da Sé Catedral de Lisboa, um dos monumentos mais antigos de Portugal.

A figura da direita, representa um modelo geométrico de parte dessa catedral. O modelo não está desenhado à escala.

O modelo representado na figura, à direita, é um sólido que pode ser decomposto nos prismas quadrangulares regulares $[A B C D E F G H]$, $[L K N M H G J I] \quad \mathrm{e}$ $[P Q R O I J T S]$

Sabe-se que:

bases dos três prismas são quadrados, todos geometricamente iguais;
o ponto $M$ pertence ao segmento de reta $[\mathrm{CH}]$
o ponto $N$ pertence ao segmento de reta $[O I]$
$\overline{D E}=\overline{R S}=9 \mathrm{~cm}$
$\overline{M H}=\frac{2}{3} \overline{D E}$
o volume total do sólido é igual a $248 \mathrm{~cm}^{3}$

Seja $s$ a área da base de cada prisma.

Determina $s$

Apresenta o resultado em centímetros quadrados, arredondado às décimas.

Mostra como chegaste à tua resposta.

Fonte: Exame Matemática 3º Ciclo - 2015, 1ª Fase - Grupo Exercício 881

Resumos

Resolução do Exercício:

Como a altura do prisma $[L K N M H G J I]$ é $\frac{2}{3}$ da altura dos outros dois prismas, podemos considerar o sólido composto por 8 prismas com alturas e bases iguais entre si (como se ilustra na figura seguinte), e cujas bases são também iguais às bases dos três prismas descritos no enunciado, ou seja, bases com área $s$

Assim, cada um destes 8 prismas tem $\frac{1}{8}$ do volume do sólido:

$$\frac{248}{8}=31 \mathrm{~cm}^{3}$$

Temos ainda que a altura de cada um destes 8 prismas é,

$$\overline{C M}=\frac{\overline{D E}}{3}=\frac{9}{3}=3 \mathrm{~cm}$$

Assim, o volume $\left(V_{8}\right)$ de cada um destes 8 prismas pode ser calculado como $V_{8}=s \times \overline{C M}$, e substituindo os valores calculados antes vem

$$V_{8}=s \times \overline{C M} \Leftrightarrow 31=s \times 3 \Leftrightarrow \frac{31}{3}=s$$

Pelo que, arredondando a área $s$ das bases dos prismas às décimas (em centímetros quadrados) é

$$s=\frac{31}{3} \approx 10,3 \mathrm{~cm}^{2}$$

Fonte: Matemática? Absolutamente!

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