Mestre Panda

Dificuldade: díficil

Na figura seguinte, estão representados um quadrado $[A B C D]$ e quatro triângulos geometricamente iguais.

Em cada um destes triângulos:

um dos lados é também lado do quadrado;
os outros dois lados são geometricamente iguais.

A figura é uma planificação de um sólido.

Relativamente ao triângulo $[A B F]$, sabe-se que:

a altura relativa à base $[A B]$ é 5 ;
$\overline{A B}=6$

Qual é a altura desse sólido?

Começa por fazer um esboço do sólido, a lápis, e nele desenha o segmento de reta correspondente à sua altura.

Apresenta todos os cálculos que efectuares.

Fonte: Exame Matemática 3º Ciclo - 2007, 1ª Fase - Grupo Exercício 810

Resumos

Resolução do Exercício:

Desenhando um esboço do sólido (representado na figura ao lado), temos que o sólido é uma pirâmide quadrangular.

Como $\overline{A B}=6$, temos que

$$\overline{Q P}=\overline{Q A}=\frac{\overline{A B}}{2}=\frac{6}{2}=3$$

E como a altura relativa ao triângulo $[A B F]$ relativa à base $[A B]$ é 5 ,

$$\overline{Q F}=5$$

A altura da pirâmide é o segmento $[P F]$, e como a altura á perpendicular à base, o triângulo $[Q P F]$ é retângulo, pelo que, recorrendo ao Teorema de Pitágoras, calculamos a altura da pirâmide, ou seja a medida do comprimento do segmento $[P F]$ :

$$\begin{gathered}\overline{Q F}^{2}=\overline{Q P}^{2}+\overline{P F}^{2} \Leftrightarrow 5^{2}=3^{2}+\overline{P F}^{2} \Leftrightarrow 25=9+\overline{P F}^{2} \Leftrightarrow 25-9=\overline{P F}^{2} \Leftrightarrow \\Leftrightarrow 16=\overline{P F} \underset{P F>0} {\Rightarrow} \sqrt{16}=\overline{P F} \Leftrightarrow 4=\overline{P F}\end{gathered}$$

Fonte: Matemática? Absolutamente!

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