Mestre Panda

Dificuldade: díficil

Na figura seguinte, sabe-se que:

$O$ é o centro da circunferência;
$[A B]$ e $[B C]$ são cordas geometricamente iguais;
$D$ é o ponto de interseção do diâmetro $[E B]$ com a corda $[A C]$.

Nota: A figura não está construída à escala.

Qual é, em centímetros, a medida do comprimento de $[D E]$, supondo que $\overline{A O}=6,8 \mathrm{~cm}$ e $\overline{A C}=6,4 \mathrm{~cm}$ ?

Apresenta os cálculos que efetuares.

Fonte: Exame Matemática 3º Ciclo - 2009, 1ª Fase - Grupo Exercício 802

Resumos

Resolução do Exercício:

Como $\overline{A B}=\overline{B C}$, então a reta $B O$ é perpendicular ao segmento $[A C]$, e assim, temos que o triângulo $[A D O]$ é retângulo em $D$

Temos ainda que o ponto $D$ é o ponto médio do lado $[A C]$, pelo que $\overline{A D}=\frac{\overline{A C}}{2}=\frac{6,4}{2}=3,2$

Assim, recorrendo ao Teorema de Pitágoras, e substituindo os valores conhecidos, vem que:

$$\overline{A O}^{2}=\overline{A D}^{2}+\overline{D O}^{2} \Leftrightarrow 6,8^{2}=3,2^{2}+\overline{D O}^{2} \Leftrightarrow 46,24=10,24+\overline{D O}^{2} \Leftrightarrow $$$$\Leftrightarrow 46,24-10,24=\overline{D O}^{2} \Leftrightarrow 36=\overline{D O}^{2} \underset{D O>0} \Rightarrow \sqrt{36}=\overline{D O} \Leftrightarrow 6=\overline{D O}$$

Como $[E O]$ é um raio da circunferência, tal como $[A O]$, então $\overline{E O}=\overline{A O}=6,8$

Como $\overline{E O}=\overline{D E}+\overline{D O} \Leftrightarrow \overline{D E}=\overline{E O}-\overline{D O}$, e podemos calcular a medida do comprimento de $[D E]$, em centímetros:

$$\overline{D E}=6,8-6=0,8 \mathrm{~cm}$$

Fonte: Matemática? Absolutamente!

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