Mestre Panda

Dificuldade: díficil

Na figura seguinte, estão representados um prisma reto $[A B C D E F G H]$, de bases quadradas, e um cilindro cujas bases estão inscritas nas bases do prisma.

Sabe-se que:

$\overline{A B}=20 \mathrm{~cm}$;
a diferença entre o volume do prisma e o volume do cilindro é igual a $3000 \mathrm{~cm}^{3}$. A figura não está desenhada à escala.

Determina $\overline{C H}$.

Apresenta o resultado em centímetros, arredondado às unidades. Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais.

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Fonte: Exame Matemática 3º Ciclo - 2016, 1ª Fase - Grupo Exercício 879

Resumos

Resolução do Exercício:

Como $\overline{C H}$ é a medida da altura do cilindro e também do prisma, podemos determinar expressões do volume do prisma $\left(V_{P}\right)$ e do volume do cilindro $\left(V_{C}\right)$, em função de $\overline{C H}$ :

$V_{P}=A_{\text {Base }} \times$ altura $=\overline{A B}^{2} \times \overline{C H}=20^{2} \times \overline{C H}=400 \overline{C H}$
$V_{C}=A_{\text {Base }} \times$ altura $=\pi r^{2} \times \overline{C H}=\pi \times\left(\frac{\overline{A B}}{2}\right)^{2} \times \overline{C H}=\pi \times\left(\frac{20}{2}\right)^{2} \times \overline{C H}=100 \pi \overline{C H}$

Com a diferença dos volumes, é de $3000 \mathrm{~cm}^{3}$, vem que:

$$V_{P}-V_{C}=3000 \Leftrightarrow 400 \overline{C H}-100 \pi \overline{C H}=3000 \Leftrightarrow \overline{C H}(400-100 \pi)=3000 \Leftrightarrow \overline{C H}=\frac{3000}{400-100 \pi}$$

Assim, o valor de $\overline{C H}$, em centímetros, arredondado às unidades, é $\overline{C H} \approx 35 \mathrm{~cm}$

Fonte: Matemática? Absolutamente!

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