Mestre Panda

Dificuldade: média

A figura ao lado é uma fotografia do farol do Cabo de Santa Maria, situado na Ria Formosa, na Ilha da Culatra.

A Marta e o Rui estão a fazer um trabalho de trigonometria.

A Marta colocou-se num ponto a partir do qual podia observar o topo do farol segundo um ângulo de amplitude $60^{\circ}$. Fez algumas medições e esboçou um esquema idêntico ao que se apresenta na figura em baixo.

Nesse esquema, o ponto $T$ corresponde ao topo do farol, o ponto $M$ corresponde ao ponto de observação da Marta, e o ponto $R$ corresponde ao ponto de observação do Rui.

O esquema não está desenhado à escala.

Relativamente ao esquema da figura, sabe-se que:

$[M C T]$ é um triângulo retângulo;
o ponto $R$ pertence à semirreta $\dot{M} C$;
$T \hat{M} C=60^{\circ}$ e $T \hat{R} C=45^{\circ}$;
$\overline{M C}=25,6 \mathrm{~m}$

Determina $\overline{M R}$, ou seja, determina a distância entre a Marta e o Rui.

Apresenta o resultado em metros, arredondado às unidades.

Sugestão: Começa por determinar $\overline{T C}$.

Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais.

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Fonte: Exame Matemática 3º Ciclo - 2016, 1ª Fase - Grupo Exercício 97

Resumos

Resolução do Exercício:

O triângulo $[C M T]$ é retângulo em $C$. Como, relativamente ao ângulo $C M T$, o lado $[M C]$ é o cateto adjacente e o lado $[T C]$ é o cateto oposto, usando a definição de tangente, temos:

$$\operatorname{tg} 60^{\circ}=\frac{\overline{T C}}{\overline{M C}} \Leftrightarrow \operatorname{tg} 60^{\circ}=\frac{\overline{T C}}{25,6} \Leftrightarrow 25,6 \times \operatorname{tg} 60^{\circ}=\overline{T C}$$

Como $\operatorname{tg} 60^{\circ} \approx 1,73$, vem que:

$$\overline{T C} \approx 25,6 \times 1,73 \approx 44,29$$

O triângulo $[C R T]$ é retângulo em $C$. Como, relativamente ao ângulo $C R T$, o lado $[C R]$ é o cateto adjacente e o lado $[T C]$ é o cateto oposto, voltando a usar a definição de tangente, temos:

$$\operatorname{tg} 45^{\circ}=\frac{\overline{T C}}{\overline{C R}} \Leftrightarrow \overline{C R}=\frac{\overline{T C}}{\operatorname{tg} 45^{\circ}}$$

Como $\operatorname{tg} 45^{\circ}=1$, vem que:

$$\overline{C R} \approx \frac{44,29}{1} \approx 44,29$$

Assim, determinando o valor de $\overline{M R}$, em metros, e arredondando o resultado às unidades, vem que:

$$\overline{M R}=\overline{M C}+\overline{C R} \approx 25,6+44,29 \approx 70 \mathrm{~m}$$

Fonte: Matemática? Absolutamente!

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