Mestre Panda

Dificuldade: média

Na figura seguinte, está representada uma semicircunferência de centro no ponto $O$ e diâmetro $[A D]$

Sabe-se que:

ponto $C$ pertence à semicircunferência;
o ponto $\mathrm{B}$ pertence à corda $[A C]$
o triângulo $[A B O]$ é retângulo em $B$
$\overline{O B}=1 \mathrm{~cm}$
$B \hat{A} O=25^{\circ}$

A figura não está desenhada à escala.

Determina a área do semicírculo de diâmetro $[A D]$

Apresenta o resultado em centímetros quadrados, arredondado às décimas.

Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, três casas decimais.

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Fonte: Exame Matemática 3º Ciclo - 2015, 1ª Fase - Grupo Exercício 99

Resumos

Resolução do Exercício:

O triângulo $[A B O]$ é retângulo em $B$. Como, relativamente ao ângulo $B A O$, o lado $[O B]$ é o cateto oposto e o lado $[O A]$ é a hipotenusa, usando a definição de seno, temos:

$$\operatorname{sen} 25^{\circ}=\frac{\overline{O B}}{\overline{O A}} \Leftrightarrow \operatorname{sen} 25^{\circ}=\frac{1}{\overline{O A}} \Leftrightarrow \overline{O A}=\frac{1}{\operatorname{sen} 25^{\circ}}$$

Como sen $25^{\circ} \approx 0,423$, vem que:

$$\overline{O A} \approx \frac{1}{0,423} \approx 2,364$$

Assim, a medida $r$ do raio do círculo de raio $[A D]$, é

$$r=\overline{O A} \approx 2,364$$

Pelo que, calculando a área $A_{S}$, do semicírculo de raio $[A D]$ em centímetros quadrados, arredondados às décimas, vem

$$A_{S}=\frac{\pi r^{2}}{2} \approx \frac{\pi \times 2,364^{2}}{2} \approx 8,8 \mathrm{~cm}^{2}$$

Fonte: Matemática? Absolutamente!

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