Mestre Panda

Dificuldade: díficil

Os espigueiros são construções que servem para guardar cereais, ao mesmo tempo que os protegem da humidade e dos roedores. Por isso, são construídos sobre estacas (pés do espigueiro), de forma que não estejam em contacto direto com o solo.

Se o terreno for inclinado, os pés do espigueiro assentam num, para que o degrau espigueiro fique na horizontal, como mostra a fotografia (na figura seguinte, à esquerda).

A figura da direita é um esquema do espigueiro da fotografia. Neste esquema, estão também representados os seis pés do espigueiro, bem como o degrau no qual eles assentam. O esquema não está desenhado à escala. As medidas de comprimento indicadas estão expressas em metros. A questão seguinte refere-se a este esquema.

O espigueiro é um prisma pentagonal reto, cujas bases são pentágonos não regulares. Cada pentágono pode ser decomposto num retângulo e num triângulo isósceles.

Determina (em metros cúbicos) o volume do espigueiro.

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Fonte: Exame Matemática 3º Ciclo - 2005, 1ª Fase - Grupo Exercício 917

Resumos

Resolução do Exercício:

Podemos determinar o volume do espigueiro como a soma dos volumes de um prisma retangular e de um prisma triangular.

Desta forma, temos que o volume do prisma retangular, em metros cúbicos, é:

$$V_{\mathrm{PR}}=5 \times 0,8 \times 3,7=14,8 \mathrm{~m}^{3}$$

Para calcular o volume do prisma triangular, devemos calcular previamente a área da base.

Como a base é um triângulo isósceles, podemos calcular a altura $(h)$, decompondo o triângulo isósceles em dois triângulos retângulos, cujo comprimento da hipotenusa é $0,5 \mathrm{~m}$ e de um dos catetos é $0,4 \mathrm{~m}$.

Assim, recorrendo ao Teorema de Pitágoras, temos que:

$$h^{2}+0,4^{2}=0,5^{2} \Leftrightarrow h^{2}+0,16=0,25 \Leftrightarrow h^{2}=0,25-0,16 \Leftrightarrowh^{2}=0,09 \underset{h>0}{\Rightarrow} h=\sqrt{0,09} \Leftrightarrow h=0,3$$

Desta forma, temos que o volume do prisma triangular, em metros cúbicos, é:

$$V_{\mathrm{PT}}=A_{\text {Base }} \times \text { altura }=\frac{0,8 \times 0,3}{2} \times 5=0,6 \mathrm{~m}^{3}$$

Pelo que o volume do espigueiro, em metros cúbicos, é:

$$V_{\text {espigueiro }}=V_{\mathrm{PR}}+V_{\mathrm{PT}}=14,8+0,6=15,4 \mathrm{~m}^{3}$$

Fonte: Matemática? Absolutamente!

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