Mestre Panda

Dificuldade: díficil

Na figura está representado um modelo geométrico do símbolo da bandeira de uma equipa de futsal.
Este modelo não está desenhado à escala.

Sabe-se que:

$A, B, C, D$ e $E$ são pontos da circunferência de centro no ponto $O$
$F$ e $G$ são pontos da corda $[B E]$
$\overline{A F}=\overline{A G}=16 \mathrm{~cm}$
$C \hat{A} D=36^{\circ}$

Determina $\overline{F G}$

Apresenta o resultado em centímetros, arredondado às décimas.

Apresenta os cálculos que efetuares.

Nota - Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais.

Fonte: Exame Matemática 3º Ciclo - 2011, 1ª Fase - Grupo Exercício 107

Resumos

Resolução do Exercício:

Como $\overline{A F}=\overline{A G}$, o triângulo $[A F G]$ é isósceles, pelo que, considerando $M$ o ponto médio do lado $[F G]$, podemos considerar o triângulo $[A M F]$, retângulo em $M$

Temos ainda que o lado $[A M]$ bisseta o ângulo $F A G$ (que coincide com o ângulo $C A D)$, pelo que $F \hat{A} M=\frac{36}{2}=18^{\circ}$

Desta forma, o lado $[A F]$ é a hipotenusa do triângulo $[A M F]$, e relativamente ao ângulo $F A M,[A M]$ é o cateto oposto, pelo que, usando a definição de seno, temos:

$$\operatorname{sen}(F \hat{A} M)=\frac{\overline{F M}}{\overline{A F}} \Leftrightarrow \operatorname{sen} 18^{\circ}=\frac{\overline{F M}}{16} \Leftrightarrow 16 \times \operatorname{sen} 18^{\circ}=\overline{F M} $$

Como sen $18^{\circ} \approx 0,31$, vem que: $\overline{F M} \approx 16 \times 0,31 \approx 4,94 \mathrm{~cm}$

Como $M$ é o ponto médio de $[F G]$, calculando $\overline{F G}$ e arredondando o resultado às décimas, temos

$$\overline{F G}=2 \times \overline{F M} \approx 2 \times 4,94 \approx 9,9 \mathrm{~cm}$$

Fonte: Matemática? Absolutamente!

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