Mestre Panda

Dificuldade: díficil

Na figura seguinte, está representada uma circunferência de centro no ponto $O$

Sabe-se que:

os pontos $A, B$ e $C$ pertencem à circunferência
$\overline{B A}=\overline{B C}$
o segmento de reta $[B D]$ é a altura do triângulo $[A B C]$ relativa à base $[A C]$
$A \widehat{O} C=72^{\circ}$
$\overline{O A}=2 \mathrm{~cm}$

Determina a área do triângulo $[A B C]$

Apresenta o resultado em $\mathrm{cm}^{2}$, arredondado às décimas.

Mostra como chegaste à tua resposta.

Nota - Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, três casas decimais.

Fonte: Exame Matemática 3º Ciclo - 2013, 1ª Fase - Grupo Exercício 103

Resumos

Resolução do Exercício:

O triângulo $[A D O]$ é retângulo em $D$, porque $[B C]$ é perpendicular a $[A C]$. Como o triângulo $[A B C]$ é isósceles, também o triângulo $A O C$ é, porque têm a base em comum, e o vértice oposto à base está sobre a altura. Assim, o ângulo $A O C$ é tem o dobro da amplitude do ângulo $A O D$, logo:

$$A \hat{O} D=\frac{A \hat{O} C}{2}=\frac{72}{2}=36^{\circ}$$

Desta forma, o lado $[O A]$ é a hipotenusa do triângulo $[A O D]$, e relativamente ao ângulo $A O D,[A D]$ é o cateto oposto, pelo que, usando a definição de seno, temos:

$$\operatorname{sen} 36^{\circ}=\frac{\overline{A D}}{\overline{O A}} \Leftrightarrow \operatorname{sen} 36^{\circ}=\frac{\overline{A D}}{2} \Leftrightarrow 2 \times \operatorname{sen} 36^{\circ}=\overline{A D}$$

Como sen $36^{\circ} \approx 0,588$, vem que: $\overline{A D} \approx 2 \times 0,588 \approx 1,176$

Como o ângulo $A B D$ é o ângulo inscrito relativo ao mesmo arco que o ângulo ao centro $A O D$ tem o metade da amplitude do ângulo $A O D$, logo:

$$A \hat{B} D=\frac{A \hat{O} D}{2}=\frac{36}{2}=18^{\circ}$$

Desta forma, como o triângulo $[A B D]$ é retângulo em $D$, relativamente ao ângulo $A B D,[A D]$ é o cateto oposto e $[B D]$ é o cateto adjacente, pelo que, usando a definição de tangente, temos:

$$\operatorname{tg} 18^{\circ}=\frac{\overline{A D}}{\overline{B D}} \Leftrightarrow \operatorname{tg} 18^{\circ} \times \overline{B D}=\overline{A D} \Leftrightarrow \overline{B D}=\frac{\overline{A D}}{\operatorname{tg} 18^{\circ}}$$

Como $\overline{A D} \approx 1,176$ e $\operatorname{tg} 18^{\circ} \approx 0,325$, vem que: $\overline{B D} \approx \frac{1,176}{0,325} \approx 3,618$

Como a medida da altura do triângulo $[A B C]$ é $\overline{B D} \approx 3,618$ e a medida da base é $\overline{A C}=2 \times \overline{A D} \approx 2 \times 1,176 \approx 2,352$, calculando a área do triângulo $[A B C]$, vem:

$$A_{[A B C]}=\frac{\overline{A C} \times \overline{B D}}{2} \approx \frac{2,352 \times 3,618}{2} \approx 4,255$$

Desta forma, o valor aproximado às décimas da área do triângulo $[A B C]$ é de $4,3 \mathrm{~cm}^{2}$

Fonte: Matemática? Absolutamente!

Exercício Anterior

Próximo Exercício

Comentários

Neste momento, não há comentários para este exercício.

Para comentar, por favor inicia sessão ou cria uma conta.

Selecionar Exercício

Resolução do Exercício:

Comentários