Mestre Panda

Dificuldade: díficil

O Palácio Nacional da Pena está situado em Sintra. Em julho de 2007, foi eleito uma das Sete Maravilhas de Portugal.

A figura da direita é uma fotografia de uma das torres desse palácio. Na figura da esquerda, está representado um modelo geométrico dessa torre.

O modelo não está desenhado à escala. O modelo representado na figura da direita é um sólido que pode ser decomposto num cilindro e numa semiesfera.

Sabe-se que:

os pontos $A, B, C$ e $D$ são os vértices de um retângulo
o raio da base do cilindro é igual ao raio da semiesfera e é igual a $3 \mathrm{~cm}$
o volume total do sólido é igual a $285 \mathrm{~cm}^{3}$

Determina a altura do cilindro.

Apresenta o resultado em centímetros, arredondado às décimas. Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais.

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Fonte: Exame Matemática 3º Ciclo - 2015, 1ª Fase - Grupo Exercício 882

Resumos

Resolução do Exercício:

O volume total do sólido $\left(V_{T}\right)$ pode ser calculado como a soma dos volumes da semiesfera $\left(V_{S E}\right)$ e do cilindro $\left(V_{C}\right)$.

Calculando o volume da semiesfera, temos:

$$V_{S E}=\frac{\frac{4}{3} \pi r^{3}}{2}=\frac{4 \pi \times 3^{3}}{6}=\frac{4 \pi \times 27}{6}=\frac{4 \pi \times 27}{6}=18 \pi \mathrm{cm}^{3}$$

Podemos calcular $A_{\circ}$, a área da base do cilindro, como

$$A_{\circ}=\pi r^{2}=\pi \times 3^{2}=9 \pi \mathrm{cm}^{2}$$

Assim, designado por $\overline{B C}$ a altura do cilindro, o volume do cilindro $V_{C}$, é dado por

$$V_{C}=A_{\circ} \times h=9 \pi \times \overline{B C} \mathrm{~cm}^{3}$$

Logo, como o volume total é $258 \mathrm{~cm}^{3}$, temos que

$$V_{T}=V_{S E}+V_{C} \Leftrightarrow 258=18 \pi+9 \pi \times \overline{B C} \Leftrightarrow 258-18 \pi=9 \pi \times \overline{B C} \Leftrightarrow \frac{258-18 \pi}{9 \pi}=\overline{B C}$$

Pelo que o valor da altura do cilindro, $\overline{B C}$, arredondado às décimas é de

$$\overline{B C} \approx 8,1 \mathrm{~cm}$$

Fonte: Matemática? Absolutamente!

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