Mestre Panda

Dificuldade: díficil

Na figura ao lado, está representada uma circunferência. A figura não está desenhada à escala.

Sabe-se que:

os pontos $A, B, C$ e $D$ pertencem à circunferência;
o ponto $P$ é o ponto de interseção das cordas $[A C]$ e $[B D]$
a amplitude do arco $B C$ é $80^{\circ}$
a amplitude do ângulo $D P C$ é $85^{\circ}$

Determina a amplitude, em graus, do ângulo $D B A$ Apresenta os cálculos que efetuares.

Fonte: Exame Matemática 3º Ciclo - 2011, 1ª Fase - Grupo Exercício 443

Resumos

Resolução do Exercício:

Como o ângulo $B D C$ é o ângulo inscrito relativo ao arco $B C$, temos que $B \hat{D}C=\frac{\overparen{B C}}{2}=\frac{80}{2}=40^{\circ}$

Como o ângulo $B D C$ e o ângulo $P D C$ são o mesmo ângulo e como a soma dos ângulos internos de um triângulo é $180^{\circ}$, podemos calcular a amplitude do ângulo $D C P$ :

$$D \hat{C} P+D \hat{P} C+P \hat{D} C=180 \Leftrightarrow D \hat{C} P+85+40=180 \Leftrightarrow D \hat{C} P=180-85-40 \Leftrightarrow D \hat{C} P=55^{\circ}$$

Como o ângulo $D C P$ e o ângulo $D C A$ são o mesmo ângulo e como os ângulos $D C A$ e $D B A$ são ambos ângulos inscritos relativos ao arco $D A$, então

$$D \hat{B} A=D \hat{C} A=D \hat{C} P=55^{\circ}$$

Fonte: Matemática? Absolutamente!

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