Mestre Panda

Dificuldade: média

Na figura seguinte, estão representadas duas circunferências, $c_{1}$ e $c_{2}$, tangentes no ponto $P$.

Sabe-se que:

as circunferências $c_{1}$ e $c_{2}$ têm centro, respetivamente, no ponto $O_{1}$ e no ponto $O_{2}$;
os pontos $A$ e $B$ pertencem à circunferência $c_{1}$;
os pontos $C$ e $D$ pertencem à circunferência $c_{2}$;
os pontos $A, C$ e $P$ pertencem à reta $O_{1} O_{2}$;
as retas $A B$ e $C D$ são paralelas.

A figura não está desenhada à escala.

Admite que a amplitude do arco $P D$ é igual a $110^{\circ}$.

Determina a amplitude, em graus, do ângulo $A P B$. Mostra como chegaste à tua resposta.

Fonte: Exame Matemática 3º Ciclo - 2016, 1ª Fase - Grupo Exercício 426

Como $[P C]$ é um diâmetro da circunferência a amplitude do arco respetivo é $180^{\circ}$

Assim podemos determinar a amplitude do arco $C D$ como a diferença de amplitudes dos arcos $P C$ e $P D$ :

$$\overparen{C D}=\overparen{P C}-\overparen{P D}=180-110=70^{\circ}$$

Como o ângulo $C P D$ é o ângulo inscrito relativo ao arco $C D$, a amplitude do ângulo é igual a metade da amplitude do arco:

$$A \hat{P} B=C \hat{P} D=\frac{70}{2}=35^{\circ}$$

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