Mestre Panda

Dificuldade: díficil

O astrónomo e matemático Ptolomeu enunciou a propriedade seguinte:

«Num quadrilátero inscrito numa circunferência, a soma dos produtos das medidas dos lados opostos é igual ao produto das medidas das diagonais.»

Na figura seguinte, está representado um trapézio $[A B C D]$ inscrito numa circunferência.

A figura não está desenhada à escala.

Sabe-se que:

$\overline{A B}=12$ e $\overline{C D}=9$
$\overline{A C}=\overline{B D}=\sqrt{150}$
$\overline{A D}=\overline{B C}$

Determina o valor exacto de $\overline{A D}$, utilizando a propriedade enunciada por Ptolomeu.

Apresenta os cálculos que efetuaste.

Fonte: Exame Matemática 3º Ciclo - 2010, 1ª Fase - Grupo Exercício 798

Resumos

Resolução do Exercício:

Utilizando a propriedade enunciada, temos que, como $[A B C D]$ é um trapézio inscrito na circunferência, então

$$\overline{A B} \times \overline{C D}+\overline{A D} \times \overline{B C}=\overline{A C} \times \overline{B D}$$

Como $\overline{A D}=\overline{B C}$, e substituindo as medidas conhecidas, temos que

$$\begin{gathered}12 \times 9+\overline{A D} \times \overline{A D}=\sqrt{150} \times \sqrt{150} \Leftrightarrow 108+\overline{A D}^{2}=(\sqrt{150})^{2} \Leftrightarrow \\Leftrightarrow \overline{A D}^{2}=150-108 \Leftrightarrow \overline{A D}^{2}=42 \underset{A D > 0}{\Rightarrow} \overline{A D}=\sqrt{42}\end{gathered}$$

Fonte: Matemática? Absolutamente!

Exercício Anterior

Próximo Exercício

Comentários

Neste momento, não há comentários para este exercício.

Para comentar, por favor inicia sessão ou cria uma conta.

Selecionar Exercício

Resolução do Exercício:

Comentários