Mestre Panda

Dificuldade: díficil

A figura seguinte representa um modelo geométrico de uma rampa de skate. O modelo não está desenhado à escala.

Este modelo é um sólido que pode ser decomposto no cubo $[A B C D E F I J]$ e nos prismas triangulares retos $[B H I F A G]$ e $[C K J E D L]$, geometricamente iguais. As bases dos prismas são triângulos retângulos. Sabe-se ainda que:

$\overline{H I}=5 m$
$I \hat{H} B=32^{\circ}$

Determina o volume do sólido representado na figura ao lado.

Apresenta o resultado em metros cúbicos, arredondado às unidades.

Apresenta os cálculos que efetuares.

Nota - Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, três casas decimais.

Fonte: Exame Matemática 3º Ciclo - 2012, 1ª Fase - Grupo Exercício 105

Resumos

Resolução do Exercício:

O triângulo $[I H B]$ é retângulo em $H$, porque é uma base de um dos prismas, e o lado $[H B]$ é a hipotenusa. Temos que, relativamente ao ângulo $I H B,[B I]$ é o cateto oposto, e o lado $[H I]$ é o cateto adjacente, pelo que, usando a definição de tangente, e substituindo as medidas conhecidas, temos:

$$\operatorname{tg}(I \hat{H} B)=\frac{\overline{B I}}{\overline{H I}} \Leftrightarrow \operatorname{tg} 32^{\circ}=\frac{\overline{B I}}{5} \Leftrightarrow 5 \times \operatorname{tg} 32^{\circ}=\overline{B I}$$

Como $\operatorname{tg} 32^{\circ} \approx 0,625$, vem que: $\overline{B I} \approx 5 \times 0,625 \approx 3,125$

Como $[A B D C D E F I J]$ é um cubo, então o seu volume, $V_{C}$, é

$$V_{C}=\overline{B I}^{3} \approx 3,125^{3} \approx 30,518 \mathrm{~m}^{3}$$

Temos ainda que $\overline{A B}=\overline{B I}$, e como $[B H I F A G]$ é um prisma triangular reto, em que o triângulo $[I H B]$ é a base e $[H I]$ é a altura, então o volume do prisma, $V_{P}$, é

$$V_{P}=A_{[I H B]} \times \overline{A B}=\frac{\overline{H I} \times \overline{B I}}{2} \times \overline{A B} \approx \frac{5 \times 3,125}{2} \times 3,125 \approx 24,414 \mathrm{~m}^{3}$$

Como os prismas $[B H I F A G]$ e $[C K J E D L]$ são geometricamente iguais, têm o mesmo volume, pelo que calculando o volume do sólido, $V_{S}$, como a soma dos três volumes, e arredondando o resultado às unidades temos:

$$V_{S}=V_{P}+V_{C}+V_{P}=2 \times V_{P}+V_{C} \approx 2 \times 24,414+30,518 \approx 79 \mathrm{~m}^{3}$$

Fonte: Matemática? Absolutamente!

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