Mestre Panda

Dificuldade: díficil

Na figura seguinte, está representado o prisma triangular reto $[A B C D E F]$

Sabe-se que:

o triângulo $[A B C]$ é retângulo em $A$
$\overline{A C}=2 \mathrm{~cm}$
$\overline{A E}=6 \mathrm{~cm}$
o volume do prisma é $42 \mathrm{~cm}^{3}$

Determina a amplitude do ângulo $A B C$

Apresenta o resultado em graus, arredondado às unidades. Mostra como chegaste à tua resposta.

Nota - Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, três casas decimais.

Fonte: Exame Matemática 3º Ciclo - 2013, 1ª Fase - Grupo Exercício 104

Resumos

Resolução do Exercício:

Sabemos que o volume $(V)$ do um prisma é o produto da área da base $\left(A_{b}\right)$ pela altura $(h)$ :

$$V=A_{b} \times h$$

Considerando a base do prisma o triângulo $[A B C]$, a altura a aresta $[A E]$, e a medida do volume 42 , e substituindo as medidas conhecidas vem

$$V=A_{[A B C]} \times \overline{A E} \Leftrightarrow 42=\frac{\overline{A B} \times \overline{A C}}{2} \times \overline{A E} \Leftrightarrow 42=\frac{\overline{A B} \times 2}{2} \times 6 \Leftrightarrow \frac{42}{6}=\overline{A B} \Leftrightarrow 7=\overline{A B}$$

Assim, como, relativamente ao ângulo $A B C$, o lado $[A C]$ é o cateto oposto e o lado $[A B]$ é o cateto adjacente, recorrendo à definição de tangente de um ângulo, temos que

$$\operatorname{tg}(A \hat{B} C)=\frac{\overline{A C}}{\overline{A B}} \Leftrightarrow \operatorname{tg}(A \hat{B} C)=\frac{2}{7}$$

Como $\frac{2}{7} \approx 0,2857$, procurando o valor mais próximo na coluna dos valores da tangente na tabela de valores das razões trigonométricas (ou recorrendo à calculadora), e arredondando a amplitude do ângulo $A B C$ às unidades, temos que

$$A \hat{B} C=\operatorname{tg}^{-1}\left(\frac{2}{7}\right) \approx 16^{\circ}$$

Fonte: Matemática? Absolutamente!

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