Mestre Panda

Dificuldade: média

Para determinar a altura $(h)$ de uma antena cilíndrica, o Paulo aplicou o que aprendeu nas aulas de Matemática, porque não conseguia chegar ao ponto mais alto dessa antena.

No momento em que a amplitude do ângulo que os raios solares faziam com o chão era de $43^{\circ}$, parte da sombra da antena estava projetada sobre um terreno irregular e, por isso, não podia ser medida.

Nesse instante, o Paulo colocou uma vara perpendicularmente ao chão, de forma que as extremidades das sombras da vara e da antena coincidissem. A vara, com $1,8 \mathrm{~m}$ de altura, estava a $14 \mathrm{~m}$ de distância da antena.

Na figura seguinte, que não está desenhada à escala, podes ver um esquema que pretende ilustrar a situação descrita.

Qual é a altura $(h)$ da antena?

Na tua resposta, indica o resultado arredondado às unidades e a unidade de medida.

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais.

Fonte: Exame Matemática 3º Ciclo - 2007, 1ª Fase - Grupo Exercício 119

Resumos

Resolução do Exercício:

Começamos por determinar o comprimento da sombra da vara. Como a vara foi colocada perpendicularmente ao solo, a vara e a sua sombra definem um ângulo reto (e um triângulo retângulo), pelo que, relativamente ao ângulo de amplitude $43^{\circ}$, a vara (de comprimento $1,8 \mathrm{~m}$ ) é o cateto oposto e a sombra da vara é o cateto adjacente.

Assim, designado por $v$ o comprimento da sombra da vara, recorrendo à definição de tangente de um ângulo, temos que:

$$\operatorname{tg} 43^{\circ}=\frac{1,8}{v} \Leftrightarrow v=\frac{1,8}{\operatorname{tg} 43^{\circ}}$$

Como $\operatorname{tg} 43^{\circ} \approx 0,93$, vem que: $v \approx \frac{1,8}{0,93} \approx 1,94$ e assim, a sombra da antena é $14 +1,94 \approx 15,94 \mathrm{~m}$

Como os dois triângulos (um formado pela antena e a respetiva sombra e o outro formado pela vara e pela respetiva sombra são semelhantes, porque têm dois ângulos iguais - o ângulo de amplitude $43^{\circ}$ que é comum e os ângulos retos), então os lados correspondentes são proporcionais, ou seja

$$\frac{h}{15,94}=\frac{1,8}{1,94} \Leftrightarrow h=\frac{1,8 \times 15,94}{1,94} \Leftrightarrow h \approx 14,79$$

Pelo que a altura da antena é de, aproximadamente, $15 \mathrm{~m}$.

Fonte: Matemática? Absolutamente!

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