Mestre Panda

Dificuldade: média

Em algumas pontes, os candeeiros de iluminação pública estão inclinados em relação ao plano do tabuleiro da ponte, para reduzir a luz projetada sobre os rios. Na ponte Vasco da Gama, os candeeiros foram instalados desse modo, conforme se pode observar na figura seguinte, à direita.

Na figura à esquerda, apresenta-se, em esquema, um candeeiro desse tipo, instalado numa outra ponte. Este candeeiro é constituído por duas peças, representadas na figura pelos segmentos de reta $[A D]$ e $[C D]$

Relativamente ao esquema da direita,

a reta $t$ representa o tabuleiro da ponte;
o ponto $A$ representa a lâmpada, e o ponto $B$ é o pé da perpendicular traçada do ponto $A$ para a reta $t$;
o segmento de reta $[A D]$ é perpendicular ao segmento de reta $[A B]$;
o poste do candeeiro é representado pelo segmento de reta $[C D]$ e tem $4,1 \mathrm{~m}$ de comprimento;
$D \hat{C} E=10^{\circ}$, sendo a reta $C E$ perpendicular à reta $t$;
a distância do ponto $C$ à reta $t$ é igual a $20 \mathrm{~cm}$.

A figura não está desenhada à escala.

Determina $\overline{A B}$, ou seja, determina a distância da lâmpada do candeeiro ao tabuleiro da ponte.

Apresenta o valor pedido em metros, arredondado às décimas.

Se procederes a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserva pelo menos três casas decimais. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Fonte: Exame Matemática 3º Ciclo - 2017, 1ª Fase - Grupo Exercício 94

Resumos

Resolução do Exercício:

O triângulo $[C D E]$ é retângulo em $E$. Como, relativamente ao ângulo $D C E$, o lado $[C E]$ é o cateto adjacente e o lado $[C D]$ é a hipotenusa, usando a definição de cosseno, temos:

$$\cos 10^{\circ}=\frac{\overline{C E}}{\overline{C D}} \Leftrightarrow \cos 10^{\circ}=\frac{\overline{C E}}{4,1} \Leftrightarrow \overline{C E}=4,1 \times \cos 10^{\circ}$$

Como $\cos 10^{\circ} \approx 0,985$, vem que:

$$\overline{C E} \approx 4,1 \times 0,985 \approx 4,039 \mathrm{~m}$$

Assim, como a distância $(d)$ da reta $t$ ao ponto $C$ é 20 centímetros, ou seja, 0,2 metros e como $\overline{A B}=$ $\overline{C E}+d$, vem que a distância do candeeiro ao tabuleiro da ponte, em metros, arredondado às décimas, é:

$$\overline{A B} \approx 4,039+0,2 \approx 4,2 \mathrm{~m}$$

Fonte: Matemática? Absolutamente!

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