Mestre Panda

Dificuldade: díficil

Arrumaram-se três esferas iguais dentro de uma caixa cilíndrica (figura à esquerda).

Como se pode observar no esquema (figura da direita):

Mostra que: O volume da caixa que não é ocupado pelas esferas é igual a metade do volume das três esferas.

(Nota : designa por $r$ o raio de uma esfera.)

Fonte: Exame Matemática 3º Ciclo - 2005, 1ª Fase - Grupo Exercício 918

Designa por $r$ o raio de cada uma das esferas, temos que:

o volume de cada esfera é: $V_{E}=\frac{4}{3} \pi r^{3}$
o volume das três esferas é: $3 \times V_{E}=3 \times \frac{4}{3} \pi r^{3}=4 \pi r^{3}$
a medida do raio da base do cilindro é $r$, e a altura é o triplo do diâmetro, ou seja, $h=3 \times 2 \times r=6 r$
o volume do cilindro é: $V_{C}=A_{\text {Base }} \times h=\pi r^{2} \times 6 r=6 \pi r^{3}$
o volume da caixa que não é ocupado pelas esferas é a diferença do volume do cilindro e das três esferas, ou seja: $V=V_{C}-3 \times V_{E}=6 \pi r^{3}-4 \pi r^{3}=2 \pi r^{3}$

E, desta forma podemos concluir que:

$$V=2 \pi r^{3}=\frac{4 \pi r^{3}}{2}=\frac{3 \times V_{E}}{2}$$

Ou seja, o volume da caixa que não é ocupado pelas esferas é igual a metade do volume das três esferas.

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