Mestre Panda

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No referencial cartesiano da figura ao lado, estão representadas partes dos gráficos de duas funções, $f$ e $g$, e um trapézio $[A B C E]$

Sabe-se que:

a função $f$ é definida por $f(x)=x$
a função $g$ é definida por $g(x)=3 x^{2}$
o quadrilátero $[A B C D]$ é um retângulo
os pontos $A$ e $B$ pertencem ao eixo das abcissas
o ponto $D$ pertence ao gráfico da função $g$
os pontos $E$ e $C$ pertencem ao gráfico da função $f$
os pontos $A$ e $E$ têm abcissa igual a 1

Questão:

Determina a medida da área do trapézio $[A B C E]$.

Mostra como chegaste à tua resposta.

Fonte: Exame Matemática 3º Ciclo - 2013, 1ª Fase - Grupo Exercício 140

Resumos

Resolução do Exercício:

Como a abcissa do ponto $A$ é $1\left(x_{A}=1\right)$, podemos calcular a ordenada do ponto $E$, $y_{E}$, com recurso à função $f$ :

$$y_{E}=f\left(x_{A}\right)=f(1)=1$$

E assim, como o ponto $A$ tem de ordenada zero (porque pertence ao eixo das abcissas), vem que

$$\overline{A E}=y_{E}-y_{A}=1-0=1$$

Analogamente, recorrendo à função $g$, podemos determinar a ordenada do ponto $D, y_{D}$ :

$$y_{D}=g\left(x_{A}\right)=g(1)=3(1)^{2}=3 \times 1=3$$

Como os pontos $C$ e $D$ têm a mesma ordenada, temos que $y_{C}=y_{D}=3$, e assim, como o ponto $B$ tem de ordenada zero (porque pertence ao eixo das abcissas), vem que

$$\overline{B C}=y_{C}-y_{B}=3-0=3$$

Finalmente, como o ponto $C$ está sobre a reta $y=x$, então a sua abcissa e a sua ordenada são iguais $x_{C}=y_{C}=3$, e o ponto tem a mesma abcissa que o ponto $C$, ou seja, $x_{B}=x_{C}=3$. Logo, temos que

$$\overline{A B}=x_{B}-x_{A}=3-1=2$$

Assim, calculando a medida área do trapézio, $A_{T}$, considerando $[B C]$ como a base maior, $[A E]$ como a base menor e $[A B]$ como a altura, vem

$$A_{T}=\frac{\overline{B C}+\overline{A E}}{2} \times \overline{A B}=\frac{3+1}{2} \times 2=\frac{4}{2} \times 2=4$$

Fonte: Matemática? Absolutamente!

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