Mestre Panda

Dificuldade: díficil

Relativamente à figura seguinte, sabe-se que:

$[A C E G]$ é um quadrado de lado 4 e centro $O$;
os pontos $B, D, F$ e $H$ são os pontos médios dos lados do quadrado $[A C E G]$;
os vértices do quadrado $[A C E G]$ são os centros das circunferências representadas na figura;
o raio de cada uma das circunferências é 2 ;
o ponto $I$ pertence à circunferência de centro no ponto $A$;
o ponto $A$ pertence ao segmento de recta $[I O]$.

Determina o comprimento de $[I O]$.

Apresenta os cálculos que efetuaste. Escreve o resultado arredondado às décimas.

Nota - Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva duas casas decimais.

Fonte: Exame Matemática 3º Ciclo - 2010, 1ª Fase - Grupo Exercício 797

Resumos

Resolução do Exercício:

Considerando o triângulo retângulo $[A B O]$, podemos calcular a medida da hipotenusa (o lado $[O A]$ ) recorrendo ao Teorema de Pitágoras, identificando que $\overline{A B}=\overline{O B}=2$ porque é a medida do raio das circunferências, ou metade da medida dos lados do quadrado.

Assim, vem que

$$\begin{aligned}& \overline{O A}^{2}=\overline{A B}^{2}+\overline{B O}^{2} \Leftrightarrow \overline{O A}^{2}=2^{2}+2^{2} \Leftrightarrow \& \Leftrightarrow \overline{O A}^{2}=4+4 \Leftrightarrow \overline{O A}^{2}=8 \underset{O A > 0}{\Rightarrow} \overline{O A}=\sqrt{8}\end{aligned}$$

Verificando que $[A I]$ é um raio de uma circunferência, e por isso, $\overline{A I}=2$, e como $\overline{I O}=\overline{O A}+\overline{A I}$, vem que o comprimento de $[I O]$, arredondado às décimas, é

$$\overline{I O}=\sqrt{8}+2 \approx 4,8$$

Fonte: Matemática? Absolutamente!

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