Mestre Panda

Dificuldade: díficil

Relativamente à figura seguinte, sabe-se que:

o triângulo $[A B C]$ é escaleno e é retângulo em $B$
os pontos $E$ e $P$ pertencem ao segmento de reta $[A C]$
o ponto $D$ pertence ao segmento de reta $[A B]$
o triângulo $[A D E]$ é retângulo em $D$
o ponto $Q$ pertence ao segmento de reta $[B C]$
$P C Q$ é um arco de circunferência

A figura não está desenhada à escala.

Admite que $\overline{A D}=20, \overline{A E}=25$ e $\overline{A C}=40$

Determina $\overline{B C}$

Mostra como chegaste à tua resposta.

Fonte: Exame Matemática 3º Ciclo - 2012, 1ª Fase - Grupo Exercício 791

Resumos

Resolução do Exercício:

Como os triângulos $[A B C]$ e $[A D E]$ têm um ângulo em comum, e são ambos retângulos, têm dois pares de ângulos com a mesma amplitude, o que é suficiente para afirmar que são semelhantes, pelo critério AA.

Como os triângulos são semelhantes, podemos afirmar que a razão entre lados correspondentes é igual, ou seja,

$$\frac{\overline{A B}}{\overline{A D}}=\frac{\overline{A C}}{\overline{A E}}$$

Logo, substituindo os valores dados, vem que:

$$\frac{\overline{A B}}{20}=\frac{40}{25} \Leftrightarrow \overline{A B}=\frac{40 \times 20}{25} \Leftrightarrow \overline{A B}=32$$

E podemos calcular $\overline{B C}$, recorrendo ao Teorema de Pitágoras:

$$\begin{gathered}\overline{A C}^{2}=\overline{A B}^{2}+\overline{B C}^{2} \Leftrightarrow 40^{2}=32^{2}+\overline{B C}^{2} \Leftrightarrow 1600-1024=\overline{B C}^{2} \Leftrightarrow \\Leftrightarrow 576=\overline{B C} \underset{B C>0}{\Rightarrow} \sqrt{576}=\overline{B C} \Leftrightarrow 24=\overline{B C}\end{gathered}$$

Fonte: Matemática? Absolutamente!

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