Mestre Panda

Dificuldade: média

No referencial cartesiano, de origem no ponto $O$, da figura ao lado, estão representadas parte do gráfico da função $f$, definida por $f(x)=\frac{2}{3} x^{2}$, e parte do gráfico da função $g$, de proporcionalidade inversa.

Os gráficos de $f$ e $g$ intersectam-se no ponto $A$, de abcissa 3.

O ponto $B$ pertence ao gráfico da função $g$ e tem coordenadas $(c, 2)$.

Determina o valor de $c$.

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Fonte: Exame Matemática 3º Ciclo - 2019, 1ª Fase - Grupo Exercício 253

Resumos

Resolução do Exercício:

Calculando a imagem do objeto 3 pela função $f$, temos:

$$f(3)=\frac{2}{3} \times 3^{2}=\frac{2 \times 3 \times 3}{3}=6$$

Assim, como as coordenadas do ponto $A$ são $(3,6)$ e como a função $g$ é de proporcionalidade inversa, ou seja, da forma $g(x)=\frac{k}{x}, k \in \mathbb{R} \backslash\{0\}$, podemos calcular o valor da constante de proporcionalidade, ou seja, o valor de $k$, substituindo as coordenadas do ponto $A$ (que pertence ao gráfico da função $g$ ):

$$g(3)=6 \Leftrightarrow \frac{k}{3}=6 \Leftrightarrow k=6 \times 3 \Leftrightarrow k=18$$

Desta forma, como a função $g$ é definida por $g(x)=\frac{18}{x}$, substituindo a ordenada do ponto $B$ na expressão de $g$, podemos calcular o valor da abcissa, ou seja, o valor de $c$ :

$$g(c)=2 \Leftrightarrow \frac{18}{c}=2 \Leftrightarrow \frac{18}{2}=c \Leftrightarrow 9=c$$

Fonte: Matemática? Absolutamente!

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