Mestre Panda

Dificuldade: díficil

Na figura seguinte, em cima, está representado um dos envelopes que a Beatriz desenhou para os convites da sua festa de aniversário.

Na figura seguinte, em baixo, está um modelo geométrico do mesmo envelope.

Sabe-se que:

$[A B C D]$ é um trapézio isósceles
o ponto $F$ é o ponto de interseção das diagonais do trapézio
os pontos $E$ e $G$ são os pontos médios das bases do trapézio
o ponto $H$ pertence ao segmento de reta $[A F]$ e o ponto $I$ pertence ao segmento de reta $[D F]$
$H F I$ é um arco de circunferência
$\overline{E F}=3,75 \mathrm{~cm}$
$\overline{F G}=2,5 \mathrm{~cm}$
$\overline{B C}=8 \mathrm{~cm}$

Admite que o arco $H F I$ tem $128^{\circ}$ de amplitude.

Determina a amplitude, em graus, do ângulo $A D F$

Mostra como chegaste à tua resposta.

Sugestão: Começa por determinar a amplitude do ângulo $A F D$

Fonte: Exame Matemática 3º Ciclo - 2014, 1ª Fase - Grupo Exercício 436

Resumos

Resolução do Exercício:

Como o arco $H F I$ tem $128^{\circ}$ de amplitude, o arco $H I$ (assinalado a tracejado) tem $360-128=232^{\circ}$ de amplitude.

Como o ângulo HFI é o ângulo inscrito relativo ao arco $H I$ tem metade da amplitude do arco, ou seja

$$H \hat{F} I=\frac{\overparen{B D}}{2}=\frac{232}{2}=116^{\circ}$$

Como o trapézio é isósceles, o triângulo $[A F D]$ também é isósceles, pelo que $D \hat{A} F=A \hat{D} F$, e também $H \hat{F} I=A \hat{F} D$

Logo, a amplitude, em graus, do ângulo $A D F$ pode ser calculada como

$$\begin{gathered}A \hat{D} F+D \hat{A} F+A \hat{F} D=180 \Leftrightarrow A \hat{D} F+A \hat{D} F+116=180 \Leftrightarrow \\Leftrightarrow 2 \times A \hat{D} F=180-116 \Leftrightarrow A \hat{D} F=\frac{64}{2} \Leftrightarrow A \hat{D} F=32^{\circ}\end{gathered}$$

Fonte: Matemática? Absolutamente!

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