Mestre Panda

Dificuldade: díficil

Na figura seguinte, estão representados o prisma reto $[A B C D E F G H]$ de bases quadradas $[A B C D] \mathrm{e}$ $[F G H E]$ e as pirâmides triangulares $[A F G E]$ e $[A S T R]$, cujas bases $[F G E]$ e $[S T R]$ estão contidas em planos paralelos.

Os vértices $S, T$ e $R$ da pirâmide $[A S T R]$ pertencem, respetivamente, às arestas $[A F],[A G]$ e $[A E]$ da pirâmide $[A F G E]$

Considera que:

$\overline{A S}=6 \mathrm{~cm}$
$\overline{S T}=4 \mathrm{~cm}$
$\overline{A F}=9 \mathrm{~cm}$

A figura não está desenhada à escala.

Determina o volume da pirâmide $[A F G E]$

Apresenta o valor pedido em $\mathrm{cm}^{3}$

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Fonte: Exame Matemática 3º Ciclo - 2017, 1ª Fase - Grupo Exercício 876

Resumos

Resolução do Exercício:

Os triângulos $[A S T]$ e $[A F G]$ são semelhantes (porque têm um ângulo comum e os lados opostos a este ângulo - os lados $[S T]$ e $[F G]$ são paralelos), a razão entre lados correspondentes é igual, ou seja:

$$\frac{\overline{F G}}{\overline{S T}}=\frac{\overline{A F}}{\overline{A S}}$$

Desta forma, substituindo os valores conhecidos, vem que:

$$\frac{\overline{F G}}{4}=\frac{9}{6} \Leftrightarrow \overline{F G}=\frac{4 \times 9}{6} \Leftrightarrow \overline{F G}=\frac{36}{6} \Leftrightarrow \overline{F G}=6 \mathrm{~cm}$$

Desta forma, como $[F G H E]$ é um quadrado, temos que $\overline{E F}=\overline{F G}=6$ e a área da base da pirâmide, ou seja, a área do triângulo $[E F G]$ é:

$$A_{[E F G]}=\frac{6 \times 6}{2}=\frac{36}{2}=18 \mathrm{~cm}^{2}$$

Pelo que, como a altura da pirâmide é $\overline{A F}=9$, o volume da pirâmide $[A F G E]$, em centímetro cúbicos, é:

$$V_{[A F G E]}=\frac{A_{[E F G]} \times \overline{A F}}{3}=\frac{18 \times 9}{3}=54 \mathrm{~cm}^{3}$$

Fonte: Matemática? Absolutamente!

Exercício Anterior

Próximo Exercício

Comentários

Neste momento, não há comentários para este exercício.

Para comentar, por favor inicia sessão ou cria uma conta.

Selecionar Exercício

Resolução do Exercício:

Comentários