Mestre Panda

Dificuldade: díficil

Na figura seguinte, em cima, está representado um dos envelopes que a Beatriz desenhou para os convites da sua festa de aniversário.

Na figura seguinte, em baixo, está um modelo geométrico do mesmo envelope.

Sabe-se que:

$[A B C D]$ é um trapézio isósceles
o ponto $F$ é o ponto de interseção das diagonais do trapézio
os pontos $E$ e $G$ são os pontos médios das bases do trapézio
o ponto $H$ pertence ao segmento de reta $[A F]$ e o ponto $I$ pertence ao segmento de reta $[D F]$
$H F I$ é um arco de circunferência
$\overline{E F}=3,75 \mathrm{~cm}$
$\overline{F G}=2,5 \mathrm{~cm}$
$\overline{B C}=8 \mathrm{~cm}$

Determina a área, em $\mathrm{cm}^{2}$, do trapézio $[A B C D]$

Mostra como chegaste à tua resposta.

Fonte: Exame Matemática 3º Ciclo - 2013, 1ª Fase - Grupo Exercício 1051

Resumos

Resolução do Exercício:

Começamos por verificar que os triângulos $[A F D]$ e $[B F C]$ são semelhantes:

os ângulos $A F D$ e $B F C$ são iguais porque são ângulos verticalmente opostos
os ângulos $C B F$ e $F D A$ são iguais porque são ângulos alternos internos (as retas $A D$ e $B C$ são paralelas, visto que contêm as bases de um trapézio)

Assim, como os dois triângulos têm dois pares de ângulos iguais dois a dois (critério AA), são triângulos semelhantes.

Como os triângulos são semelhantes, podemos afirmar que a razão entre lados correspondentes é igual, e também é igual à razão das alturas, ou seja,

$$\frac{\overline{A D}}{\overline{B C}}=\frac{\overline{E F}}{\overline{F G}}$$

Logo, temos que

$$\frac{\overline{A D}}{8}=\frac{3,75}{2,5} \Leftrightarrow \overline{A D}=\frac{3,75 \times 8}{2,5} \Leftrightarrow \overline{A D}=12$$

Temos ainda que $\overline{E G}=\overline{E F}+\overline{F G}=3,75+2,5=6,25$

Assim, calculando a medida área do trapézio, $A_{[A B C D]}$, em $\mathrm{cm}^{2}$, considerando $[A D]$ como a base maior, $[B C]$ como a base menor e $[E G]$ como a altura, vem

$$A_{[A B C D]}=\frac{\overline{A D}+\overline{B C}}{2} \times \overline{E G}=\frac{12+8}{2} \times 6,25=\frac{20}{2} \times 6,25=10 \times 6,25=62,5 \mathrm{~cm}^{2}$$

Fonte: Matemática? Absolutamente!

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