Mestre Panda

Dificuldade: díficil

Na figura ao lado, está representado um octógono regular $[A B C D E F G H]$, inscrito numa circunferência de centro $O$.

Ao observar a figura, e sem efetuar medições, a Ana afirmou:

«O quadrilátero $[B D F H]$ é um quadrado.»

Como é que ela poderá ter chegado a esta conclusão? Justifica a tua resposta.

Fonte: Exame Matemática 3º Ciclo - 2005, 1ª Fase - Grupo Exercício 464

Resumos

Resolução do Exercício:

Como os segmentos $[B F]$ e $[D H]$ são ambos diâmetros da circunferência, temos que:

$$\overline{B F}=\overline{D H}$$

Como o octógono é regular, os arcos definidos por dois vértices consecutivos têm a mesma amplitude. Calculando a amplitude do arco $B C$ (por exemplo), temos que:

$$\overparen{B C}=\frac{360}{8}=45^{\circ}$$

E assim, os arcos definidos por vértices consecutivos do quadriláteros, também têm a mesma amplitude. Calculando a amplitude do arco $B D$ (por exemplo), temos que:

$$\overparen{B D}=\overparen{B C}+\overparen{C D}=2 \times \overparen{B C}=2 \times 45=90^{\circ}$$

Desta forma temos que o ângulo $B O D$, que é o ângulo ao centro relativo ao arco $B D$ (e por isso tem a mesma amplitude), é uma ângulo reto.

Assim, os segmentos $[B F]$ e $[D H]$, que são as diagonais do quadrilátero $[B D F H]$ são perpendiculares e têm o mesmo comprimento, pelo que o quadrilátero é um quadrado.

Fonte: Matemática? Absolutamente!

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