Mestre Panda

Dificuldade: média

As casas típicas de Santana, localidade da costa norte da ilha da Madeira, parecem prismas triangulares.

Na figura seguinte representa-se, em esquema, a fachada principal de uma dessas casas. No esquema, os segmentos de reta $[A C]$ e $[B C]$ representam o telhado da casa.

Relativamente ao esquema, sabe-se que:

o triângulo $[A B C]$ é isósceles, com $\overline{A C}=\overline{B C}$;
$M$ é o ponto médio do segmento de reta $[A B]$;
$\overline{A B}=4,62 \mathrm{~m}$ e $\overline{C M}=4,35 \mathrm{~m}$.

Determina, em graus, $A \hat{C} B$.

Apresenta o resultado arredondado às unidades.

Se procederes a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserva, pelo menos, três casas decimais. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Sugestão: Começa por determinar $A \hat{C} M$.

Fonte: Exame Matemática 3º Ciclo - 2018, 1ª Fase - Grupo Exercício 90

Resumos

Resolução do Exercício:

Sabemos que $[B C M]$ é um triângulo retângulo em $M$ (porque o triângulo $[A B C]$ é isósceles, com $\overline{A C}=$ $\overline{A B}$ e $M$ é o ponto médio do segmento de reta $[A B])$.

Temos ainda que, como $M$ é o ponto médio do segmento de reta $[A B]$, então $\overline{A M}=\frac{\overline{A B}}{2}=\frac{4,62}{2}=2,31 \mathrm{~m}$ Como relativamente ao ângulo $A C M$, o lado $[A M]$ é o cateto oposto e o lado $[M C]$ é o cateto adjacente, recorrendo à definição de tangente de um ângulo, e substituindo as medidas dos lados, temos que:

$$\operatorname{tg} A \hat{C} M=\frac{\overline{A M}}{\overline{M C}}=\frac{2,31}{4,35}$$

Como $\frac{2,31}{4,35} \approx 0,531$, procurando o valor mais próximo na coluna dos valores da tangente na tabela de valores das razões trigonométricas (ou recorrendo à calculadora), temos que a amplitude do ângulo $A \hat{C} M$ é:

$$A \hat{C} M=\operatorname{tg}^{-1}\left(\frac{2,31}{4,35}\right) \approx 28^{\circ}$$

Como o segmento $[C M]$ é a bissetriz do ângulo $A C B$, temos que:

$$A \hat{C} B=2 \times A \hat{C} M \approx 2 \times 28=56^{\circ}$$

Fonte: Matemática? Absolutamente!

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Comentários

Sardor Aslamov

Criado em 09/06/2024 16:17

Porque é mc não é o cateto oposto e AM não é adjacente??

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