Mestre Panda

Dificuldade: média

Na figura seguinte, estão representados, em referencial cartesiano, uma função quadrática $f$ e o triângulo isósceles $[O A B]$

Sabe-se que:

o ponto $O$ é a origem do referencial;
o ponto $A$ tem coordenadas $(4,0)$;
o ponto $B$ é um ponto do gráfico de $f$;
$\overline{O B}=\overline{A B}$;
a função $f$ é definida por $f(x)=4 x^{2}$

Determina a área do triângulo $[O A B]$

Mostra como chegaste à tua resposta.

Fonte: Exame Matemática 3º Ciclo - 2017, 1ª Fase - Grupo Exercício 132

Resumos

Resolução do Exercício:

A abcissa do ponto $B$ é 2 , a abcissa do ponto $A$ é 4 e, como o triângulo $[O A B]$ é isósceles, $(\overline{O B}=\overline{A B})$ então a altura relativamente ao lado $[O A]$ pertence à bissetriz deste lado.

Como o ponto $B$ é o ponto do gráfico de $f$ que tem abcissa 2 , podemos calcular a sua ordenada $\left(y_{B}\right)$, recorrendo à expressão algébrica da função $f$ :

$$y_{B}=f(2)=4(2)^{2}=4 \times 4=16$$

Assim, temos que a área do triângulo $[O A B]$ é:

$$A_{[O A B]}=\frac{\overline{O A} \times f(2)}{2}=\frac{x_{A} \times y_{B}}{2}=\frac{4 \times 16}{2}=\frac{64}{2}=32$$

Fonte: Matemática? Absolutamente!

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Comentários

Fabiana Caunde

Criado em 08/06/2024 15:05

De onde veio o 2 do yb?

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Haidé Parchão Fabiana Caunde

Criado em 08/06/2024 22:03

Pois, eu tbm n sei

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Raquel Campos Fabiana Caunde

Criado em 09/06/2024 15:58

como o triângulo é isósceles, o lado BO e BA têm o msm comprimento. então, o ponto B pertence à mediatriz do segmento OA Ou seja, a mediatriz indica a metade do segmento. O segmento tem 4 de comprimento, logo, o ponto B vai ter de abcissa 2, porque o ponto B faz parte da mediatriz do segmento Agora é substituir o x por 2 na expressão da função, obtendo o valor do y do ponto B, que é o valor da altura do triângulo. Espero ter ajudado :)

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Fabiana Caunde Raquel Campos

Criado em 09/06/2024 22:41

Ajudou muito, obrigada!

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Rahnia Adão

Criado em 10/06/2024 00:08

A altura não é 64?

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Raquel Campos Rahnia Adão

Criado em 10/06/2024 11:59

Não, porque ao saber que o ponto B tem 2 como valor no eixo das abcissas, substituímos o x por 2 na expressão da função. ou seja f(x)=4x². Se substituirmos o x por 2 vai ficar: f(2)=4*2²<=> f(2)=4*4 <=> f(2)=16 16 é o valor de y do ponto B, ou seja a altura do triângulo

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Rahnia Adão Raquel Campos

Criado em 10/06/2024 21:44

Como descobriu o 2?

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Rahnia Adão

Criado em 10/06/2024 21:44

Como descobriu o 2?

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Beatriz Ferreira Rahnia Adão

Criado em 11/06/2024 10:08

Raquel Campos: "como o triângulo é isósceles, o lado BO e BA têm o msm comprimento. então, o ponto B pertence à mediatriz do segmento OA Ou seja, a mediatriz indica a metade do segmento. O segmento tem 4 de comprimento, logo, o ponto B vai ter de abcissa 2, porque o ponto B faz parte da mediatriz do segmento Agora é substituir o x por 2 na expressão da função, obtendo o valor do y do ponto B, que é o valor da altura do triângulo. Espero ter ajudado :)"

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Raquel Campos Rahnia Adão

Criado em 11/06/2024 11:24

Como o triângulo é isósceles, então o ponto B está à mesma distância dos pontos A e O. Então ele pertence à mediatriz do segmento de reta AO. A mediatriz é uma reta que passa pelo ponto médio de um segmento de reta, de forma perpendicular. Ou seja, se B pertence à reta que determina a metade de AO, então o ponto B vai ter de abcissa metade do comprimento de AO, ou seja 4/2=2

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