Mestre Panda

Dificuldade: média

Na figura seguinte, estão representados, num referencial cartesiano, os pontos $A$ e $B$ e partes dos gráficos de duas funções, $f$ e $g$

Sabe-se que:

o ponto $O$ é a origem do referencial
a função $f$ é uma função de proporcionalidade direta
a função $g$ é uma função de proporcionalidade inversa
o ponto $A$ pertence ao gráfico de $f$ e tem coordenadas $(8,6)$
o ponto $B$ pertence ao gráfico de $f$ e ao gráfico de $g$ e tem abcissa igual a 4

Designemos por $C$ a imagem do ponto $A$ por meio da reflexão de eixo $O x$ (o ponto $C$ não está representado na figura).

Determina o perímetro do triângulo $[A O C]$

Mostra como chegaste à tua resposta.

Fonte: Exame Matemática 3º Ciclo - 2013, 1ª Fase - Grupo Exercício 839

Resumos

Resolução do Exercício:

Como o ponto $C$ é uma reflexão do ponto $A$ relativamente ao eixo $O x 0$ tem a mesma abcissa e ordenada simétrica, ou seja, as coordenadas do ponto $C$ são $C(8,-6)$

Relativamente ao triângulo $[O A C]$ temos que $\overline{A C}=6+6=12$ e que $\overline{O A}=\overline{O C}$, e podemos determinar $\overline{O A}$ recorrendo ao Teorema de Pitágoras, considerando o triângulo retângulo $[O A D]$, em que $D$ é a projeção ortogonal do ponto $A$ no eixo $O x$ :

$$\begin{gathered}\overline{O A}^{2}=\overline{O D}^{2}+\overline{D A}^{2} \Leftrightarrow \overline{O A}^{2}=8^{2}+6^{2} \Leftrightarrow \\Leftrightarrow \overline{O A}^{2}=64+36 \Leftrightarrow \overline{O A}^{2}=100 \underset{O A>0}{\Rightarrow} \overline{O A}=\sqrt{100} \Leftrightarrow \overline{O A}=10\end{gathered}$$

E assim, temos que o perímetro do triângulo $[O A C]$ é:

$$P_{[O A C]}=\overline{A C}+2 \overline{O A}=12+2 \times 10=12+20=32$$

Fonte: Matemática? Absolutamente!

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