Mestre Panda

Dificuldade: díficil

Relativamente à figura ao lado, sabe-se que:

o triângulo $[A B C]$ é retângulo em $C$
o ponto $E$ pertence ao segmento de reta $[A B]$
o ponto $D$ pertence ao segmento de reta $[A C]$
o triângulo $[A D E]$ é retângulo em $E$

Sabe-se ainda que:

$\overline{E D}=2 \mathrm{~cm}$
$\overline{A E}=\frac{1}{2} \overline{A C}$
a área do triângulo $[A B C]$ é $20 \mathrm{~cm}^{2}$

Determina $\overline{A C}$

Apresenta a tua resposta em centímetros.

Mostra como chegaste à tua resposta.

Fonte: Exame Matemática 3º Ciclo - 2012, 1ª Fase - Grupo Exercício 1053

Resumos

Resolução do Exercício:

Como os triângulos $[A E D]$ e $[A C B]$ são semelhantes (porque têm um ângulo agudo em comum e os ambos têm um ângulo reto, logo têm dois pares de ângulos iguais dois a dois), podemos afirmar que a razão entre lados correspondentes é igual, ou seja

$$\frac{\overline{A E}}{\overline{A C}}=\frac{\overline{E D}}{\overline{B C}}$$

(os lados $[E D]$ e $[B C]$ são os lados menores de cada um dos triângulos e os lados $[A E]$ e $[A C]$ são os lados de comprimento intermédio em cada um dos triângulos.)

Como $\overline{A E}=\frac{1}{2} \overline{A C} \Leftrightarrow \frac{\overline{A E}}{\overline{A C}}=\frac{1}{2}$ e $\overline{E D}=2$, substituindo na relação anterior, vem

$$\frac{1}{2}=\frac{2}{\overline{B C}} \Leftrightarrow 1 \times \overline{B C}=2 \times 2 \Leftrightarrow \overline{B C}=4$$

Como a área do triângulo $[A B C]$ é $A_{[A B C]}=\frac{\overline{A C} \times \overline{B C}}{2}$, substituindo os valores conhecidos, temos:

$$20=\frac{\overline{A C} \times 4}{2} \Leftrightarrow 20=\overline{A C} \times 2 \Leftrightarrow \frac{20}{2}=\overline{A C} \Leftrightarrow 10=\overline{A C}$$

Assim, temos que, $\overline{A C}=10 \mathrm{~cm}$

Fonte: Matemática? Absolutamente!

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